周赛龙 储炳南

利用所学的数学知识，从现实情景出发，发现并提出问题，分析问题，建立和求解模型，检验和完善模型，并最终解决实际问题，是高中数学建模的主要過程，也是培养学生数学建模核心素养的必要手段[1].本文，笔者将数学中的抽象知识与生活中的实际问题结合起来，采用数学建模的思想方法，对教室中视角“最佳”的位置问题进行了分析探讨，旨在增强数学知识的趣味性和实用性，提升学生数学学习的兴趣，提高学生数学应用的意识，培养学生数学建模的核心素养.

1 提出问题

我们知道，在教室里坐在不同位座上，看黑板感受是不一样，这主要是由于在不同位置观看黑板时视角不同引起的. 一般情况下，当你观看一个物体时，视角越大，看得就越清晰.根据以上依据， 你能找出教室中视角“最佳”的位置吗？

2 建立模型

如图1所示， 在竖直墙面α上有一矩形黑板ABCD，黑板两竖直边与墙边距离相同.其中，AB=a，AD=b，（a>b）. E、F分别为黑板两竖直边上的两点，且满足：EF∥AB∥CD∥β，G、H分别为黑板两水平边上的两点，且满足：GH⊥β，AD⊥β ，BC⊥β.延长GH交面β于点I.点P（眼睛）在水平平面β内，边CD在β上方且与β的距离HI为定值c.

实际上，当我们在点P处看黑板时，视角会分为水平和竖直两个方向，结合观看物体时，视角越大看得越清晰的理论前提，教室中看黑板最清晰的位置，应该同时满足如下两个条件：①水平方向上，点P到黑板的距离PJ和EF到β面的距离KJ一定时， ∠EPF度数最大;②竖直方向上，GH与黑板两竖直边的距离一定时，∠GPH度数最大.

3 求解模型

3.1 水平方向上最大视角的求解

如图1所示，连接线段PE、PF.当点P到黑板的距离PJ和EF到β面的距离KJ一定时， 点P到线段EF的距离PK也固定，记：PK=h.则问题可转化为如下模型：

如图2、3所示，在△PEF中，边EF上的高为线段PK，且PK=h，EF=a均为定值，求∠EPF度数最大时点P的位置.

解 设EK=x，记∠EPF=θ，∠KPE=α，∠KPF=β.

（1）如图2所示，高PK的垂足K在线段EF上时，0≤x≤a，则：

tanα=EKPK=xh，tanβ=FKPK=a-xh

所以cotθ=cot（α+β）=1-tanαtanβtanα+tanβ=1-xh·a-xhxh+a-xh=x-a22+h2-a24ah .

当x=a2时，（cotθ）min=4h2-a24ah，即∠EPF=θ取最大值.此时，点P在边EF的垂直平分线上.

（2）如图3所示，高PK的垂足K在线段EF延长线上时，x>a，则：

tanα=EKPK=xh，tanβ=FKPK=x-ah.

所以cotθ=cot（α-β）=1+tanαtanβtanα-tanβ=1+xh·x-ahxh-x-ah=（x-a2）2+h2-a24ah.

所以此时，（cotθ）min>4h24ah>4h2-a24ah.

综上可知：当x=a2时，cotθ取最小值;即点P在边EF的垂直平分线上时，即∠EPF=θ取最大值.

3.2 竖直方向上最大视角的求解

如图1所示，线段GH垂直平分黑板两水平边时，延长GH交面β与点I，连接线段PI、PH、PG.则问题可转化为如下模型：

如图4所示，在Rt△PGI中，点H为边GI上一点，且满足GH=b，HI=c，求：当线段PI的长度取何值时，∠GPH度数最大.

解 设PI=x，记∠GPH=θ，∠GPI=α，∠HPI=β，则：

tanα=GIPI=b+cx，tanβ=HIPI=cx.

所以tanθ=tan（α-β）=tanα-tanβ1+tanαtanβ=b+cx-cx1+b+cx·cx=bx+（b+c）cx .

所以当x=（b+c）c时，tanθ取最大值，角θ度数最大.即：PI=（b+c）c时，∠GPH最大.

综合以上水平和竖直两个方向上的最大视角的求解结果可知：教室里，黑板的正中央且距离黑板的距离为（b+c）c处的位置为教室中视角“最佳”的位置.

4 检验结果

以上求解结果中，水平方向上，教室中的每一排的最中间位置是看黑板的“最佳”位置与现实情况相符合，因为中间位置不仅可以保障水平视角达到最大，而且不用斜视，且不易出现黑板“反光”情况;而对于竖直方向上，教室中最中间列距离黑板（b+c）c处的位置为视角“最佳”的位置却可以有不同的阐释：一方面，此处所说的位置“最佳”仅代表在该位置处恰好同一水平方向和同一竖直方向上的视角同时达到最大，但在其他水平方向上，此位置所处的水平视角却不是最大的，因为对于教室中的最中间列而言，显然，距离黑板越近，水平视角会越大;另一方面，此处所说的视角 “最佳”位置不一定是教室中观看黑板“最舒服、最健康”的位置，

如图5所示，当竖直视角为角θ时，人体需要抬头后仰或向上眼动一个φ=2β+θ2角度，长时间观看黑板时易造成人体一定程度上的颈部或眼部疲劳.但考虑到一般教室的空间不大，一节课时间不长且学生课间可以适当休息，所以角度φ对学生观看黑板的舒适度及身体健康的影响不会太大.但若在空间大、观看时间长的电影场中，最佳观影位置的选择就应该着重考虑角度φ对观众观影体验的影响了，毕竟大多人看电影是奔着放松娱乐去的.

5 模型应用案例

如图6所示， 一矩形足球场在平面α上，矩形ABCD是一方球门所在位置，其中AB=a，AD=b，（a>b）.在平面α上，除矩形ABCD外，现将矩形足球场分为如图所示的Ⅰ、Ⅱ两个位置区域，点P（射球点）在平面α内，过点P作PE⊥CD于点E，讨论点P的最佳射门位置.