浙江温州乐清市蒲岐镇中学(325600) 施贤谊

浙江温州第二外国语学校(325600) 黄信永

最近几年越来越多生活题出现在中考中,比如浙江两年内好几个地方中考中出现关晾衣架问题的试题,尝试去分析试题时发现其中不乏有一定的关联,2019年湖州和温州两地中考题中有关晾衣架问题,2020年湖州再现晾衣架问题,问题的多次出现迫使我们去研究这类题型,本文通过构建解题模型、思考解法,分析总结揭开晾衣架问题的面纱.

1 例题欣赏

(2019.浙江湖州) 有一种落地晾衣架如图1 所示,其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度.图2 是支撑杆的平面示意图,AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆, 夹角∠BOD=α.若AO= 85cm,BO=DO= 65cm.问: 当α= 74°时, 较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为____cm.(参考数据:sin 37° ≈0.6,cos 37° ≈0.8,sin 53° ≈0.8,cos 53° ≈0.6.)

构建数学模型：已知: 如图1-1,BO=DO= 65cm,AO=85cm,∠BOD=74°,AE ⊥BE,求AE的长.

分析: 其实就是在直角三角形中已知∠B的度数和AB的长度利用正弦函数求AE的长度.∵∠BOD=74°,BO=DO,∴∠B=53°,∵sin ∠B=,∴AE=150×sin ∠B=120cm.

构建三角函数基本图形: 在直角三角形中已知一个角和斜边求直角边.

(2020 浙江湖州)有一种升降熨烫台如图1 所示,其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度.图2 是这种升降熨烫台的平面示意图.AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆,点O是它们的连接点,OA=OC,h(cm)表示熨烫台的高度.

(1)如图2-1.若AB=CD= 110cm,∠AOC= 120°,求h的值.

(2)爱动脑筋的小明发现,当家里这种升降熨烫台的高度为120cm 时,两根支撑杆的夹角∠AOC是74°(如图2-2).求该熨烫台支撑杆AB的长度(结果精确到1cm).(参考数据:sin 37° ≈0.6,cos 37° ≈0.8,sin 53° ≈0.8,cos 53° ≈0.6.)

构建数学模型：(1) 已知: 如图2-3,AO=CO,CD=110cm,∠AOC=120°,AC ⊥DE,求DE的长.

分析: 其实就是在直角三角形中已知∠C的度数和CD的长度利用正弦函数求DE的长度.∵∠BOD=120°,AO=CO,∴∠C=30°,∵sin∠B=∴AE=110×sin∠C=55cm.不难发现这个第一问和2019年的问题是如出一辙,只是改变了中间角度的大小,让一个锐角三角形变成钝角三角形.

(2)已知: 如图2-4,AO=CO,BE= 120cm,∠AOC=74°,AC ⊥BE,求AB的长.

分析: 问题中不难发现还是在直角三角形中利用三角函数解决问题.∵∠AOC=74°,A0=CO,∴∠A=53°,= 150cm.构建三角函数基本图形: 在直角三角形中已知一个角和斜边求直角边或已知一个角和直角边求斜边.

(2019 浙江温州)如图3-1 中图1 是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2 所示,两支脚OC=OD= 10 分米,展开角∠COD= 60°,晾衣臂OA=OB= 10 分米,晾衣臂支架HG=FE= 6 分米,且HO=FO=4 分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为____分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′-BE为____分米.

构建数学模型：(1)第一问从图中找到需要的信息构建数学解题模型然后三角函数基本图形构建直角三角形, 作ON ⊥CD,OP ⊥AM.

已知:如图3-1,在等边三角形OCD中,OC=OD=10分米,在RtΔAOP中可以发现∠AOP= 30°,OA= 10 分米,求AM的长度?

构建三角函数基本图形发现利用直角三角形中已知一个角和一条边求解其他边和角.sin ∠AOP=∴AP=5 分米.cos ∠AOP=,∴OP=分米.∵ΔOPA∽= ΔOCN,∴OP=ON∴AM= 5+分米.

(2) 第二问分解为在两个一般三角形中利用三角函数求解边, 已知: 如图3-2,OF= 4 分米,EF= 6 分米,∠FOE=60°,求OE的长度?

根据三角函数的基本图形首先建立直角三角形,过F作FS ⊥0E,在RtΔOFS中,cos ∠FOS=,∴OS= 2 分米.同理得到FS= 23 分米,在RtΔEFS中,勾股定理可以得到SE=分米,∴OE=

建立数学模型: 已知如图3-3,OF=4 分米,E′F=6 分米,∠FOE′=120°,求OE′的长度.

利用类比 的方式RtΔKFE′, 得到OK= 2 分米,得到E′E=4 分米.

构建三角函数基本图形: 在直角三角形中已知一个角和斜边求直角边.

总结: 将问题转化为数学模型,再建立利用学过简单基本图形进行解题,当题中缺少条件是要做到心中有图形,把问题转化为基本图形,让求解的问题简单化、熟悉化.

2 命题角度思考

2.1 三角函数走进生活,回归实用.

三角函数给人们的印象存在于纯数学的理念中,对三角函数的应用都是数学解题的时候才用到,近两年的中考命题让我们体会到了身边的数学文化,让数学回归生活,以前在考察三角函数知识的时候我们发现不是用来测量灯塔就是测量飞机的高度以及楼高,这些测量在某种意义上来讲还是离我们的生活比较远,不能动手去操作,只能靠在纸上画一画想一想,当晾衣架问题出现在我们面前的时候,发现数学变得更加实用,离生活更近,能够切身体会到数学的存在,给我们以后关注的方向.

2.2 体现数学学科核心素养.

数学更加注重的是解决实际问题,然而我们在解题的时候往往忽略了数学知识与实际问题之间的构建,需要架起从实际问题通下数学知识的一座桥梁,就需要培养建立数学模型的思想, 数学模型的建立也是数学学科素养的一种表现,给今后的解题带来了方向.

3 解题角度思考

3.1 眼中有模型,心中有图形.

生活中的问题要转化为数学问题,建立数学模型是少不了,从题干中分析,找到已知与求解,让生活问题转化为数学问题,再进行求解,解答数学问题可以从基本图形出发,在课本中出现三角函数的基本图形,然后对照基本图形当缺少条件时可以补充需要的条件,让问题变成我们熟悉的数学知识,做到心中有基本图形给我们简答问题增加了的信心,也让问题简单化,熟悉化.

3.2 主抓不变性,变动为静.

晾衣架问题中特别是例3 中出现运动中的数学问题,需要把动态旋转的问题转化为静态的问题,让画面静止在需要的时刻,再去寻找题中的不变量,紧扣旋转前后的不变量,很清晰的可以看到OE和FE的长度是不会发生改变的,利用不变量建立改变前后存在的关系,很容易找到类比解法例如图3-3 和3-4 垂线的做法,让问题明朗化.