江苏省徐州市第一中学(221000) 朱思念

南通市教育科学研究院高中数学教研员曾蓉老师曾在一次专家报告中说: 教材,取之不竭的试题宝库,巧妙嫁接联通出新,情境改编推陈出新,关注模型迁移出新,抓住本质归真出新.

当然,教材并不只是试题宝库.数学教科书上的例题、习题都是编著者经过精心思考反复斟酌形成的,它不仅很好的承担了大纲中要求掌握的知识载体,而且还准确体现课程标准的要求,传达一种信息,引领未来考试的基本方向.如果我们在日常教学与学习中留心品味,可以发现,有些例题、习题可能还站在整个数学体系的高度上,承前启后,体现出编著者的独具匠心.

案例一 普通高中课程标准实验教科书数学(必修四)第51 页第19 题

一铁棒欲通过如图所示的直角走廊,试回答下列问题:

(1) 证明棒长L(θ) =

(2)求L(θ)的最小值(用计算器或计算机);

(3)解释(2)中所求得的L是能通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值.

这个案例主要是受一篇文章启发而引起的思考,文章发表于《中学生数学》2016年9月刊,出自常青藤实验中学钱思源同学之手,令人惊讶,爱不释手.

首先把问题简单化,不等宽的直角走廊,换成等宽直角走廊,再将不计厚度的木棒变成有宽度能灵活转动的平板车,而后将等宽直角走廊变为非等宽直角走廊,再将等宽直角走廊变为等宽折线形走廊,最后将等宽直角走廊变为等宽弯角走廊,才暂时完结他的问题研究之旅.变化示意图如下:

这将一道本身就很有趣的应用题, 变得更“活泼开朗”了,如此的学习之旅如何能不吸引学生的眼球? 再试想,如果我们的学生都像这位同学这么创造着,那么我们的课堂将会多么的缤纷多彩,我们的孩子怎么可能只会是个解题的机器?

当然,变化肯定不止如此,放开让孩子们处理的话,作为课堂主导的老师估计也会眼花缭乱的吧.那么作为主导者,我们要起好主导作用:

1.《普通高中数学课程标准》中明确提出,高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习探究活动,让学生体验数学发现和创造的立场,发展他们的创新意识.学生自主编题是近来尝试进行的一种新型高三复习课教学方式,通过教师示范引领学生自主编题,使学生成为课堂主体,有效激发其学习兴趣,优化数学思维,建构知识网络,提高创新意识和能力.学生自主编题是很好的一种方法手段,但要根据问题情境、问题难度、解决方法等确定修编的时间,否则课堂有可能无法完成.

2.突出重点、突破难点这是必须要实现的.这个问题的重点肯定是数学模型的建立和解决,难点一是数学问题的解决,二是解释目标函数的最小值是通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值.

3.从思源同学写的文章看,这应当是他在高三年级时的作品,而这个问题的题源是高一年级的任务,所以作为课堂的主导者,对这个问题的引导处理,要随时间不同而不同.高一年级应当着重于问题的理解、数学模型的建立和解决,而高三年级的时候应当着重于问题的分解、探究、变形和延伸,而且问题的审视和解决还可以再上一个高度,因为这个问题的数学本质其实是过定点的线段的最值问题,可以用解析法解决它.这样,不仅这个问题更精彩了,数学的课堂和孩子们的学习将更精彩.

案例二 普通高中课程标准实验教科书数学(必修四)第42 页例题2

一半径为3m 的水轮,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟逆时针转动4 圈,如果当水轮上点P从水中浮现时开始计算时间.

(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数;

(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间?

对这个案例的思考就要回溯到很久之前了,2013年笔者参加校内评优课的课题是:“函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质”,后来又观摩了省评优课,收获了很多.但随着时间的推移,教材的不断研究、探索,笔者越来越想推翻之前的很多构想.通过这些年对各地的教材、江苏省内各版本的教材的对比、品读、研磨,笔者心中的脉络越来越清晰.

首先江苏省内教材变化比较如下:

内容1995年10月第2 版2012年6月第4 版2020年新版____标题函数y =A sin(ωx+φ)_____________________________________________的图像函数y =A sin(ωx+φ)的图像函数y =A sin(ωx+φ)问题情境物理工程技术简谐运动摩天轮上一点_________________________________________________________________________________________________________________________的圆周运动名词介绍最值,在振动量中开始在简谐运动背景下问题情境之后问题提出无问题设置直接给出问题结合问题情境提出研究方法通过三组例题分别给______________________________________出三个要素的影响以问题串的方式逐步给出并解决_____以问题串的方式逐步给出并解决__

从教材的比较中可以看出,即将使用的新版教材的突出变化是新问题情境的设置,这个设置自然承上,完美启下,同时解决一个后续教学难点,一举三得.

从教材的演变中我们也可以看出,研究目标的提出和研究方法日趋自然和成熟.作为课堂教学的主导者,我们应该:

1.整体把握教材结构的同时,要注意细节不同背后所隐含的道理.

在1995年10月第二版教材中,作函数y=Asin(ωx+φ)简图时用的是“五点法”,而在新教材中却是用电脑或其他作图工具直接给出的.是因为科技进步使然吗? 笔者认为,不是.

五点法, 是“三角函数的图像与性质”中利用正弦线作出正余弦函数图象之后, 发现函数y=sinx,x ∈[0,2π] 的图像起着关键作用的点有五个:描出五点后,y=sinx,x ∈[0,2π] 的图像形状就基本确定了, 因此在精确度要求不太高时我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来就得到了函数的简图,这种方法称为“五点法”.

也就是在已知函数图像与性质符合正余弦曲线特征的时候才能用五点法作图,而对于函数y=Asinx,y=sinωx,y= sin(x+φ),我们并不知道它们的形状,怎么能用五点法呢? 所以,在教学中应当避开这一点,否则这里的推理就毫无逻辑可言.同时也建议在新版本教材编写时,“三角函数的图象与性质”这部分内容的例题做适当的调整,否则我们在此处已经研究φ、A、ω对函数的影响,后面章节的设问、解答不就多此一举了吗?

2.该部分内容的教学有两处将会用较长时间完成,一是问题的情境的解决,二是几组对比函数图像的作图.

对于问题一,这是本节的一个难点,为什么? 这个问题需要将实际问题转化为数学问题,而且问题的转化和解决用的是三角函数的定义,但实际上对于三角函数定义,绝大多数同学都处于“断章取义”的层次,现实情况使得这个问题的透彻解决,不能成行.故而让学生先自学、揣摩,而上课时首要的环节就是学生讨论自己在自学中确定的问题.小组解决不了的问题集中起来,班级共同努力解决.这样一方面可以解决、深化问题知识,更重要的是尊重学生主动探究的倾向,发展学生互助合作的团队精神,落实数学育人的目标.

而后开始教师的问题串,首个问题是让学生思考说明问题情境解决的理由,以此巩固深化三角函数的定义,同时清晰明确本节课的目标任务.

对于问题二,前文笔者已经说过用五点法作正余弦函数图像,可行,但用它做函数y=Asin(ωx+φ)的图象不合适,这是用我们即将要推导的结论作工具去推导结果,这样的逻辑推理是不成立的.那么剩下的画图方法就还剩图像变换和描点法了,前者理论性强,后者时间长,故而这个也不适合在课堂上慢慢琢磨.

所以将自学学习任务,提前布置,学生总结学习心得,并确定学习中碰到的问题.这样不仅解决了以上两个突出问题,更重要的是把学生的个体行为提升为群体行为,使得学生成为了教学活动活动的真正主体,提高其学习的兴趣,增强其学好的信心,养成其良好的学习习惯.学生做教师,个个跃跃欲试,反思与质疑就是争夺话语权的工具.再者,没有阅读的教学,想要落实课程目标,一切如浮云.

3.正如前文所说,上课伊始,教师要把课堂放给学生.先邻位同学提出、讨论并解决每个人自己确定的问题,而后小组讨论确定各组的问题,教师把问题集中,将问题抛向课堂.这是艺术等待,等待不仅包括时间维度的延长,留给学生思考的时间,让每名学生都能进入问题情境状态,还包括心理层面上教师对学生有所期待的心理.

当然,这节课也不能就在这样的开放中结尾,教师要精巧提问,将课堂推向纵深.开放课堂,艺术等待,精巧提问,目标达成.

波利亚在《怎样解题》中将解题分为四步——理解题目,拟定计划,执行计划和回顾.由此可看出,解题后的反思是解题的重要组成部分.通过回顾完整的答案,重新审查解答,可巩固知识,培养解题能力.也就是说,没有任何一个题目是彻底完成的,总还会有事情可做,在充分的研究和洞察后,我们可以将任何解法加以改进,无论如何,总可以深化我们对答案的理解,解题后反思可以将不同的问题相互联系,不同知识相互联系,也可以将已获得的解题方法或结果利用到其他问题的求解.养成反思的习惯,可获得一些条理分明,随时可用的知识,将会提高你的解题能力.反思是学好数学的助力剂,也是教好数学的助力剂,对教材的深入研究、发掘、积累是教师反思的途径之一,在这个过程中师生都将不断领悟数学思想方法,感悟数学本质,提高分析问题、解决问题的能力则是水到渠成.

教材是一切数学问题解决依据所在,同时它也是例题宝库、习题宝库、试题宝库, 取之不尽, 用之不竭, 我们要用好,维护好这个宝库.