牛丽芳, 卫钱瑞

(太原理工大学 数学学院,山西 太原 030024)

本文研究下列带强阻尼的Kirchhoff 型方程

整体解的长时间行为,其中Ω是RN(N≥3)中的一个有界开集,边界∂Ω充分光滑,φ(‖∇u‖2)=α,σ(‖∇u‖2)=μ,α、μ,β是常数,h(s)∈C1(R;R),f(x)∈L2(R),g∈C1(R,R),g(0)=0.

在一维空间里,没有耗散项-Δut,-Δutt和非h(ut)线性项时,模型(1～3)[1]是描述弹性拉伸弦的振动问题.关于带耗散项-Δut或ut或h(ut)的Kirchhoff 的研究有很多结果[2-15],下面举几个例子：

当β=0,h(ut)=ut,σ(‖∇u‖2)=1,方程(1)为下列方程

utt-φ(‖∇u‖2)Δu-Δut+ut+g(u)=f(x)

(4)

Yang和Ding[13]研究了其全局吸引子和指数吸引子的存在性.

当β=0,h(ut)=0,方程(1)化为

(5)

Ding、Yang和Li[14]证明了系统的长时间行为.

当β=0,φ(s)=1+εs,σ(s)=1方程(1)化为

(6)

Yang和Da[15]得到了方程(6)全局吸引子的存在性.

容易看出,这些研究都没有考虑耗散项-Δutt(β=0).当β≠0,φ(‖∇u‖2)=α(α为常数),σ(‖∇u‖2)=μ(μ为正常数),方程(1)化为

(7)

本文研究了系统(2、3、7)的动力学行为,得到了系统整体解的性质,证明了系统全局吸引子的存在性.

1 预备知识

易知,V⊂H=H*⊂V*,其中H*,V*分别为H,V的对偶空间.

用C表示任意非负常数,在不同的行,甚至同一行表示不同的常数.

(H3) 存在常数c2,使得|g′(s)|≤c2(1+|s|p),0≤p≤4,∀s∈R；

下面给出渐近紧的判据.

引理1[17]设{S(t)}t≥0是关于Banach空间X上的一族映射,且有一个有界吸收集B0⊂X,若对任意的ε>0,存在T=T(B0,ε)和φT∈C(B),使得对任意的x,y∈B0,有

‖S(T)x-S(T)y‖≤ε+φT(x,y)

则{S(t)}t≥0是渐近紧的.

给出常用的吸引子的存在性定理：

引理2设E为Banach空间,算子半群{S(t)}t≥0为连续的. 假设存在开集U⊂E和U的有界集B,使得B在U中吸收. 又假设满足下列条件:

2 系统整体弱解的存在唯一性

根据经典的Faedo-Galerkin方法,参考文献[18],很容易得到系统(2、3、7)存在唯一解,并且解关于初值具有连续依赖性.在此就不再赘述,只罗列此结果.

定理1设条件(H1)～(H4)成立,u0(x),u1(x),f是给定的函数,且满足:

(u0(x),u1(x))T∈E,f∈L2(Ω)

由定理1和系统(2、3、7)的整体弱解关于初值具有……