王永铎,李 霞

(兰州理工大学 理学院,甘肃 兰州 730050)

在本文中,R都是有单位元的结合环,所有的模都是右R-模.设M和N是右R-模.称M是N-投射模,如果每个M到N的商模的右R-模同态可以提升到M到N的右R-模同态.称M是R-投射模,如果M是RR-投射的.称M是投射模,如果M对任意右R-模N是N-投射的.受到文献[1-5]的启发,本文很自然的引入小N-投射模和小R-投射模的概念.设M和N是右R-模.称M是小N-投射模,如果对于每个满同态f:N→N/N1(N1是N的任意小子模)和每个同态g:M→N/N1,存在同态h:M→N使得fh=g.称模M是小R-投射模,如果M是小RR-投射的.本文研究了小N-投射模和小R-投射模的基本性质,探讨了它们与已知模类的关系.证明了环R是半本原环当且仅当每个R-模是小R-投射模.本文也引入了小R-投射盖的概念.称满同态f:P→M或P是M的小R-投射盖,如果P是小R-投射模且f是小的满同态.证明了R是半完备环当且仅当R/J(R)是半单的且每个单R-模有小R-投射盖;R是右完备环当且仅R/J(R)是半单的且每个半单R-模有小R-投射盖.

定义1设M和N是右R-模.称M是小N-投射模,如果对于每个满同态f:N→N/N1(N1是N的任意小子模)和每个同态g:M→N/N1,存在同态h:M→N使得fh=g.称M是小R-投射模,如果M是小RR-投射的.

例11) 设R是半本原环.则每个右R-模M是小R-投射模.

证明由R是半本原环知J(R)=0.对满同态f:R→R/0和同态g:M→R/0,考虑交换图,如图1所示.

图1 交换图Fig.1 Commutative diagram

因为R/0≃R是投射模,所以f可裂,即存在同态h:R/0→R使得fh=1R/0.因此存在同态hg:M→R,使得f(hg)=(fh)g=1R/0g=g.

2)Z-模Z/nZ(n≠0,1)是小Z-投射模但不是Z-投射模.

证明由J(Z)=0,知每个右Z-模M是小Z-投射模,因此Z/nZ(n≠0,1)是小Z-投射模.下证Z/nZ(n≠0,1)不是Z-投射模.因为nZ不是Z的直和项,所以短正合列0→nZ→Z→Z/nZ→0不可裂……