叶晓峰,韩 晶

(华东交通大学 理学院,江西 南昌 330013)

多线性算子的研究吸引着很多研究者,许多结果与经典算子的线性理论相似,但也发现了一些新现象[1].二十世纪九十年代一些学者开始研究变指数函数空间上的一些性质[2],近年来,变指数函数空间在调和分析中得到长足地发展[3-5].Izuki[6]引入了变指数Herz-Morrey空间,Lu等[7]研究了次线性算子在此空间上的有界性.Zhu等[8]研究了带可变核Marcinkiewicz积分算子变指数Herz空间上的有界性.受此启发,本文主要讨论的是多线性Marcinkiewicz算子在变指数Herz-Morrey空间上的有界性.

设B(x,r)={y∈Rn:|x-y|0,C2>0,使C1B≤A≤C2B.

1 定义

则根据上述多线性算子F定义多线性Marcinkiewicz算子μ为

μ(f1,…,fm)(x)=

定义2[2]设p(·):E→[1,∞)是一个可测函数.

其中范数表示为

定义3[9]核函数K满足的尺寸条件定义如下：对所有的x,y1,…,ym∈Rn,且存在1≤j≤m,满足x≠yj,有

2 引理

引理1[10]当0

引理2[11]如果p(·)∈P(Rn)存在一个常数C>0,且对于所有球B在Rn中,下面不等式成立

引理3[10]如果p(·)∈P(Rn),存在常数0<γ<1和C>0,对任意的球B⊂Rn和对任意的可测子集S⊂B,有下面的不等式成立

这里隐含常数不依赖r且x∈R.

其中

设E是Rn中的开集,如果p(·)∈P(Rn)且满足下面2个条件：

则有p(·)∈B(Rn).

3 主要结果

根据变指数Herz-Morrey空间的定义

从以上的四个等式中可看出E2和E3对称,则只要分析E1,E2,E4即可.根据核函数K满足尺寸条件和Minkowskiw不等式,可得到

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