张平 彭亮 徐文彬

【摘 要】计数是小学数学的重要内容。十进制计数的规则包含两个要素，十进位和位值制，其本质是以自然数1为基本计数单位，满十就产生一个新的计数单位。小数是自然数数系的扩展，它沿用了自然数的计数方式。从测量的本质来理解小数计数问题，不仅能使学生厘清小数计数中的一些问题，还有助于他们更好地把握小数计数的本质，领悟测量的思想，培养数感。

【关键词】测量视角;小数;计数;计数单位;教学改进

【中图分类号】G623.5  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2021）18-0038-04

【作者简介】1.张平，江苏省张家港市崇真小学（江苏张家港，215631）副校长，高级教师;2.彭亮，南京晓庄学院（南京，211171）教师教育学院讲师，教育学博士;3.徐文彬，南京师范大学（南京，210097）课程与教学研究所常务副所长，教授，博士生导师。

计数既关涉学生对数的意义的理解，也关涉其数感的培养。十进制计数用0～9这样十个符号加上位值制进行自然数和小数的计数，这是人类最伟大、最奇妙的创造之一，也是世界范围内应用最广泛的计数方式。但就如此简单的计数而言，如果我们忽略了其中的某些计数规则，则极有可能会造成一些逻辑上的混淆。譬如，有人认为500的计数单位是“百”，1.23的计数单位是“0.01”（百分之一）。正因为有如此“理解”，在小数教学中遇到“请将1.23改写成用0.001（千分之一）作单位的数”的问题时，很多人会认为，其结果应该是“1.230”。其实，这些错误都源于对“基本计数单位”和“最小计数单位”的混淆。据此，我们需要从测量的视角来深入认识和理解小数的计数和计数单位，以期帮助学生深入理解小数的意义，进而培养其数感。

一、测量的理解

测量问题可能是人类最早的数学问题。所谓测量，是按照某种规律，用数据来描述观察到的现象。更具体地说，测量是对事物的属性做出量化描述，是对非量化事物的量化过程。量化就是把待测定的量用同一个标准进行比较的过程。一般来说，测量包括四个要素——测量对象、测量标准（计量单位）、测量方法和测量的准确度。[1]

测量是人类认识世界的重要工具，使人类探索世界的成果具有稳固性，因而是人类文明建构的基础。有了测量，就有了对量的把握、理解及应用;离开测量，单纯地谈论量是没有实质意义的。人们用来作为计量标准的量叫作标准量或单位量，进行比较的方法促使测量方法和测量工具诞生了，测量得到的结果需要用数学语言来表征。测量结果的表征一般是由数据及其单位组成，这是由测量的目的和方法决定的。首先，测量本质上是对事物做出量化的描述，测量结果就是事物与测量标准（测量单位）进行比较的结果，其实质就是一个比值;其次，测量同一个事物，可以用不同的单位，测量的标准不同，得出的结果也不同，因而一般情况下，“数据加单位”才能将测量结果表达清楚。如一个人的身高可以用168厘米表示，也可以用1.68米表示，两种不同的结果表达的是同一个人的身高。那么，测量同一个对象为什么会有不同的测量单位呢？一是因为事物是复杂多样的，人们如果规定测量一个对象只能有一个测量单位，可能会带来很多不便;二是用一个标准测量，很多时候并不能正好测量完，会多出一部分或少了一部分。因此，人们会在规定一个基本测量标准的基础上再按照一定的规则制定出一些其他相应的测量单位。

二、测量视角下的计数和计数单位

数源于量，计数与计量的原理是一致的。正因如此，计数也包括四个要素，即计数对象、计数单位、计数方法和精确度。如自然数的计数对象是物体个数，自然数的基本单位是1，在此基础上，根据计数的需要，自然数的计数单位还有十、百、千等。自然数的计数方法是十进制和位值制，即“满十进一”，同一个数在不同的数位上表示不同的值。需求不同，对自然数计数结果的精确度要求也不同，如256086600四舍五入到万位大约是25609万，四舍五入到千位大约是256087千。

我国古代的小数是在计量中产生的。最早关于十进制计量单位的记载是贾谊的《新书·六术》篇：“数度之始，始于微细，有形之物，莫细于毫，是故立一毫以为度始，十毫为发，十发为厘，十厘为分。”[2]这里把“数”与“度”的最小单位都归于毫，开了后世数学家用度量单位表示小数位值的先河。明确从数学上提出小数的是我国古代数学家刘徽，他在处理开放不尽问题时建议采用一种微数方法：“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也。”[3]这段话的意思是：微数不需要借助单位来标识其“零”位值，一退再退皆以10的整数次幂为分母，可避免通分引起的微数变化。可见，我国古代的小数计数延续了自然数的计数方式，也是十进制和位值制。

三、测量视角下小数计数教学存在的问题及其分析

小数计数看似和自然数计数一样简单，却存在着一些误区。譬如，1.23可以表示为由1个1加2个0.1再加3个0.01所组成。但很多人会认为1.23的计数单位是0.01，理由是1.23这个小数最小的有效数位是百分位，百分位的计数单位是百分之一。据此，将1.23改写成以0.001作单位的数，应该写成1.230。然而，如此改写会在逻辑上出现以下混乱：

一是从测量的视角来看，测量结果一般应由数据和测量单位组成，计数也应如此，计数所得的数应是计数对象与计数单位（或标准）比较而产生的。正因如此，1.23的计数单位如果是0.01，那么其结果如若改写成“数据加标准”的样式，则应该为1.23（0.01），即“1.23个0.01”。而1.23的实际大小应该是“1.23个1”。由此可见，1.23的实际大小若用0.01来计数，则应该是“123个0.01”，这显然与1.23个0.01相差甚远。

二是将1.23改写成计数单位是0.001的数时，如果写成1.230，那么从数的大小上比较，1.23=1.230。此时，如果1.23认定的计数单位是0.01，而1.230認定的计数单位是0.001，那么，0.01和0.001显然是两个不同的计数单位。在测量上，用两个不同的计数单位测量同一个对象，其得到的数肯定是不相等的，正如人民币1元，用元测量的结果是1元，用角测量的结果则是10角。反向推之，如果测量所得的数（据）相同，则只可能是用同一个标准进行的测量，这样才能保证测量结果的唯一性。如上所述，用0.01和0.001测量，测量单位不同，而结果相同，那就不能保证测量结果的唯一性。

三是将1.23的计数单位认定为0.01，显然与自然数的计数方式相违背。自然数的计数方式只有当单位是1时会省略不写，如2800，这样的写法表示计数单位是1，即表示“2800个1”。如果要用百作单位，就应该写成“28百”。同理，1.23的计数单位如果是0.01，就应该写成“123个0.01”。

那么，如何理解1.23的计数单位呢？从测量的角度来看，我们或可从以下几方面来进行分析与思考：

一是1.23作为计数的结果，可以表示为1个1加2个0.1再加3个0.01，也可以表示成1.23个1，即1个1加0.2个1再加0.03个1。如此，1.23个1这样的结果就表示，测量对象与测量标准1比较的结果是1.23，这与1.23的实际大小相符合。

二是1.23的计数单位是1，还可以写成12.3个0.1，也可以写成123个0.01，即1.23个1=12.3个0.1=123个0.01。用不同的计数单位测量同一个对象，其数据是不同的，但表示的结果是相等的，保证了计数结果的唯一性。

三是1.23的计数单位是1，这与自然数的计数方式一致，即“1”是基本的自然数计数单位，也是小数的基本计数单位，其他单位都可以看作其在基本计数单位“1”的基础上的拓展。基本计数单位“1”约定可以省略，这也与自然数的书写方式相吻合。

四是将1.23改写成用0.001作单位的数，从测量的视角来看，应该理解为1.23个1与0.001相比较的结果是多少。因此，其结果应该写成1230个0.001，就如58090000改写成以万作单位的数是5809万一样。如此，自然数与小数的计数规则就是统一的，而且符合数学追求统一性的特征。

由此可见，为了避免上述“逻辑混乱”，我们似乎可以在小数计数中引入“基本计数单位”和“最小计数单位”这两个概念。譬如1.23，其基本计数单位应该是1，其最小计数单位则应该是0.01，其中也有计数单位0.1。此外，整数计数中的最小计数单位和基本计数单位均为1。

其实，测量视角下的理解与古人在小数计数单位上的理解是一致的。我国古代数学巨著《数理精蕴》中就有这样的记载：“凡数单位后有奇另者，必作点于单位上以志之，如有金三百四十五两六钱七分，命两为单位则于五上作点志之，又如有米六石五斗四升三合，命石为单位则于六上作点志之。”[4]意思是：三百四十五两六钱七分，小数点点在五上，表示用“两”作单位。六石五斗四升三合，小数点点在六上，表示用“石”作单位。显然，古人所说的345.67金的单位是“两”而非“分”，6.543米的单位是“石”而非“合”。笔者在测量视角下所理解的小数的（基本）计数单位1与其不谋而合。

四、测量视角下小数教学的改进策略

由上述分析可见，测量视角有助于我们深入认识和理解计数问题，而且能够统一小学数学中的自然数、小数乃至分数，从而提升学生对数的认识。

1.要适时渗透测量思想。

法国数学家庞加莱说：“如果没有测量空间的工具，我们便不能构造空间。”[5]从根本上说，测量是人们认识世界事物的数学方法，也是每个人的一项基本数学素养。因此，一些国家在小学阶段的数学学习中有专门的测量内容体系。在我国的小学数学教材中，虽然没有专门的测量内容体系，但基本内容十分丰富，都安排在相关领域;虽然测量的内容不同，但其都是通过一定的标准来度量物体的某些属性，将物体的一些属性数量化。因此，对于测量中标准统一的必要性、测量单位的系统性、测量结果的精确度等数学思想方法，需要在小数教学中加以必要的渗透，这将有助于学生真正认识或理解小数。

2.要注意从测量的视角引导学生理解小数计数单位的意义。

测量得以实现，关键是要有标准;计数得以实现，离不开单位。我国小学数学教材主要是根据知识间的联系和学生的认知水平分阶段引入测量单位的。譬如，长度单位一般在第一学段，面积单位一般在第二学段，体积单位一般在第三学段。这种安排尽管力求符合学生的认知发展水平，但还不够。其实，从上述分析的测量视角来贯穿这些分阶段安排，也许更符合学生日常生活中的实际认知过程。从测量的视角来理解小数计数单位的意义，需要关注以下三个方面：一是感受计数单位的测量价值，如1.23既可以是1.23个1，也可以是12.3个0.1，更可以是123个0.01;二是让学生经历计数单位的形成过程，如在认识小数时，把1平均分成10份，其中的2份如何表示呢？让学生大胆去猜想，去尝试创造新的单位;三是让学生真切体会为什么要选择合适的计数单位来进行计数，如认识大数时，我国的人口就不适合用较小的计数单位来计数。

3.要注意培养学生的数感。

在测量和计数教学中，培养学生的数感十分重要。小学生对数的理解主要建立在其对量的认识的基础之上。学生有很多对量进行比较（测量）的生活经验，并由此慢慢积累起大量的数的经验。在测量教学或测量视角下的小数教学中，要让学生经历由量到数的过程。在这个过程中，尤其要注重学生估计意识和估算能力的培养，让学生在测量中通过对量的估计逐步积累起数量经验，加深数与量之间的联系，再通过不断抽象，慢慢加深对数的意义的认识以及对数的大小的理解，从而逐步建立、丰富、完善数感。

综上所述，任何小学数学的课程或教学改革，抑或小学数学教师的专业发展，首先必然意味着对数学自身的理解的逐步深入与逐渐拓展。否则，任何所谓的创新必然是“梦幻的现实”，均无实现的丝毫可能。

【参考文献】

[1]李德唐.现代测试技术[M].北京：中国海洋出版社，2017：1-2.

[2]王渝生.中國算学史[M].上海：上海人民出版社，2006：175.

[3]郭书春.论中国古代数学家[M].北京：海豚出版社，2017：115.

[4]潘有发.初等数学史话[M].西安：陕西人民教育出版社，1995：414.

[5]史宁中.数学思想概论：第5辑[M].长春：东北师范大学出版社，2012：107.