罗 柱，卢 艺

(广东东软学院 基础学院，广东 佛山 528225)

0 引言

线性方程组是线性代数课程中一个重要内容，它在实际应用中有着重要作用，例如，稳态电路中的核心方程基尔霍夫方程、计算信号流图传递函数公式、网络流等，它们本质上是解线性方程组。解线性方程组都是基于重要的理论——线性方程组解的结构定理。三元一次线性方程组有着明显的几何背景，现大部分文献资料都是直接描述其解的几何含义，但未证明线性方程组解的几何含义与其解的判定条件之间的理论联系。本研究借助MATLAB软件直观展示线性方程组解的几何意义，从理论上证明线性方程组解的几何含义与解的判定条件之间的联系。

1 预备知识

设三元一次线性方程组为

(1)

记，

α1=(a11,a21,a31)T，α2=(a12,a22,a32)T，

α3=(a13,a23,a33)T

定义1m×n矩阵A的所有非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩。

引理1 设两平面方程为

π1:A1x+B1y+C1z+D1=0

π2:A2x+B2y+C2z+D2=0’

则

(i)两平面相交的充要条件是

A1：B1：C1≠A2：B2：C2；

(ii)两平面平行的充要条件是

(iii)两平面重合的充要条件是

2 相关结论

线性方程组(1)的每一个方程表示三维空间中的一个平面，如果第二个方程与第一个方程联立，得到一个方程组，如有解，其解是维数小一维的直线，第三个方程也一样。这就生成两条新的直线，若这两条直线相交于一点，则方程组有唯一解。换句话说，三个平面相交于一点时，则线性方程组(1)有唯一解。下面借助于MATLAB，在二维平面中展示三元一次线性方程组解的其他情况。

注：每一条直线代表的是一个平面，每个交点代表的是一条直线。……