罗世瑶

[摘  要] “喝咖啡问题”是五年级下册“分数的加法和减法”的改编例题，在“基于现实情境下的问题解决”研究背景下，笔者对本课例从“阅读理解，问题表征”“制定计划，画图分析”“变式练习，抓住本质”三个大环节中展开教学实践，以图引导学生形成解决现实问题的一般步骤，掌握解题策略，促进其“问题解决能力”。

[关键词] 喝咖啡问题;基于现实情境;问题解决

■一、设计理念

“喝咖啡问题”是五年级下册第六单元“分数的加法和减法”的最后一個例题，是学生学习了分数的意义和分数加减法之后学习的，并为六年级学习分数乘法的意义与算理做铺垫。但是由于原题目“喝牛奶问题”有点不太符合现实生活实际，而且原题中的混合奶与原来的纯牛奶相比没什么太大区别，对学生的理解可能产生较大的干扰，为了让学生更容易理解，笔者进行了例题的情境改编。同时基于教学内容和学情特点，笔者认为本节课的重点并不是让学生掌握这类问题的具体解题方法（因为在六年级时会具体学习分数乘法的相关知识），而是让学生经历问题解决的过程，体会解题策略，培养学生的核心素养，故笔者确立了如下的学科教学目标：（1）借助画图，理解形如“求■的■是■”的问题，体会画图策略在理解、分析、解决问题中的作用。（2）经历解决问题的全过程，通过将新情境转化成会做的情境，感悟“变中找不变”“数形结合”等数学思想，进一步积累数学活动经验。

本课例是在“基于现实情境下的问题解决”的研究背景下进行的，希望运用波利亚《怎样解题》理论，通过实践研究，指导学生形成解决现实问题的一般步骤，掌握解题策略，提高解决问题的能力，培养数学学科核心素养。

在教学中，具体表现为：在学习过程中，教师引导学生阅读理解现实情境下的问题，基于学生的生活经验或操作画图对问题进行表征;以表征和分析问题为线索，引导学生制定解题计划，分析出对应的数量关系式;以分析问题和解决问题策略的学习为线索，鼓励学生选择合适的策略进行解答;对问题的解答进行检验，鼓励学生逐步形成评价与反思的意识。这些并非孤立地存在，而是在问题解决的过程中各有侧重、时有交织。基于上述考虑，笔者展开了教学实践。■二、教学设计

1. 有序阅读理解，对问题情境进行表征

“喝咖啡问题”是基于现实情境的数学问题，与生活联系比较紧密，学生在刚接触这个问题的时候，可能会比较难以理解，故首先引导学生对问题情境进行表征很有必要，会直接影响到后面是否能将生活问题顺利转化成数学问题。

（1）阅读题目，有序整理。

出示情境：一杯纯咖啡，乐乐喝了半杯后，觉得有些苦，就兑满了牛奶。他又喝了半杯。乐乐一共喝了多少杯纯咖啡？多少杯牛奶？

师：这道题目讲了一件什么事情？能用数学语言有序地概括一下吗？

生：第一次喝了■杯纯咖啡，第二次兑满了牛奶，又喝了■杯。

（2）画图分析，表征题意。

谈话：我们可以运用学过的方法来分析、理解题意，如综合法、分析法，还有特殊方法——画图法。你能用画图的方法清晰表示出两次喝咖啡的过程吗？

学生汇报后展示：

=

设计意图：在出示“喝咖啡问题”后，没有立刻让学生尝试画图表征，而是先引导学生有序地梳理题目中的信息与所求问题，初步理解题目的意思，并对其进行了初步整理。接着再通过画图表征两次喝牛奶的过程，使得题目更具可视化。

2. 制定解题计划，选择合适的策略解答

解决问题的难点与关键是“第二次喝了多少杯纯咖啡”，需要引导学生排除干扰信息，透过表面抓住“加牛奶前后纯咖啡的量不变”这一本质，把问题转化为“求■的■是多少杯”来解决。由于学生还没有学习分数乘除法，无法用分数乘除法的知识来解决，教学中要突出借助图示解决问题的策略，通过画图帮助学生直观理解，并结合问题制定解决的策略——在新情境下，让学生转化成学过或会做的情境来解决，从而找到解决问题的方法。

（1）找准关键，制定计划。

提问：我们先解决一共喝了几杯纯咖啡，数量关系式是什么？

板书：第一次喝了几杯纯咖啡+第二次喝了几杯纯咖啡=一共喝了几杯纯咖啡。

设疑：根据解题的数量关系式，目前能直接计算出一共喝了几杯纯咖啡吗？为什么？

追问：看来第二次喝了几杯纯咖啡是解题的关键，那么我们可以确定解题计划：先求……再求……

小结：在解决问题的时候，可以先确定解题计划。本题的解题计划是先求出第二次喝了几杯纯咖啡，再加上第一次喝的。

（2）学会转化，善用图示。

方法一：画图解决问题之一。

①转化成数学问题。

提问：第二次喝了的■杯加奶咖啡里包含了什么？所以要求“第二次喝了多少杯纯咖啡”，我们可以将其转化为求什么呢？

小结：要解决关键问题“第二次喝了多少杯纯咖啡”，可以将其转化为解决数学问题“■杯加奶咖啡的■是多少”。

②画图解决“■杯加奶咖啡的■是多少”。

学生独自画图，汇报后提问：为什么第二次喝的纯咖啡是■杯？怎么从图中看出来的？

结合学生回答，课件出示图形：

小结：■杯加奶咖啡的■是■杯。

方法二：画图解决问题之二。

①转化成数学问题。

展示学生的另一种画图方法：

提问：还有同学是这样表示兑满牛奶后的咖啡的。里面究竟有多少杯纯咖啡，多少杯牛奶呢？

小结：混合前后，咖啡和牛奶的量都不会改变。用数学的方式，把咖啡和牛奶分离，让我们更清晰直观地看到现在有多少杯咖啡，有多少杯牛奶。

转化：根据图示思考，现在剩下了■杯纯咖啡，第二次又喝了■杯，则要求“第二次喝了多少杯纯咖啡”，也可以转化为求什么？

小结：要解决关键问题“第二次喝了多少杯纯咖啡”，也可以转化为解决数学问题“剩下■杯纯咖啡的■是多少”。

②画图解决“剩下■杯纯咖啡的■是多少”。

出示学生两种不同的画法，对比：比较两位同学的作品，有什么相同点与不同点？

辨析：虽然画法不同——一个是横着分，一个是竖着分，但所表达的意思是相同的。

小结：剩下■杯纯咖啡的■是■杯。

（3）对比深化，总结方法。

对比：两种解题方法，有什么共同点？有什么不同点？

小结：无论是画混合状态，还是用数学的方式将其分离，其共同点都是求“■的■是多少”，并通过画图的方法得到“■的■是■”。

回顾难点，小结方法：解决问题时，通过画示意图分析题意，将生活问题转化为数学问题，并把咖啡和牛奶分离开来，再根据题意进行划分，能帮助我们把“混合”这样的生活问题变得直观容易一些。

设计意图：学生面对信息多样、步骤繁多的问题，缺乏系统性解决问题的方法。尽管这些题目蕴涵的数量关系并不复杂，但由于情境复杂、步骤繁多，学生需要分层次、依次解答，所以上述教学首先引导学生梳理出解决问题的主要步骤。其次对于学生来说，解决“喝咖啡问题”的关键在于将这个生活问题转化成数学问题。在试教时发现学生其实有两种做法，一种是将生活问题转化为“求■杯加奶咖啡的■是多少”，另一种是将其转化为“求■杯纯咖啡的■是多少”，所以笔者在上述教学片段中将两种方法都呈现了出来，不限制学生的思考方向，但在“对比深化”中帮助学生提炼其数量关系，其实最终都是转化为“求■的■是多少”，逐步深入，抓住本质。又因为第二次喝的是兑了牛奶的咖啡，生活中是牛奶和咖啡的混合物，对学生理解题意和分析问题产生了很大的干扰，可能会影响他们正确地解答，所以在上述片段中重视引导学生通过借助图示解决关键问题，强化“加牛奶前后纯咖啡的量不变”及“先分离再划分”的画图策略。

3. 新知巩固提升，透过现象抓住本质

虽然例题教学时已经运用各种直观表征的手段引导学生将生活实际问题转化为数学问题，并引导学生理解其数量关系，但是对于类似的题目学生毕竟有理解难度，所以需要在巩固练习中加以强化和突破，帮助学生进一步理解解题的思路，再次感悟“变中有不变”的思想，透过现象抓本质，所以笔者设计了以下的练习。

（1）变中不变，引发冲突。

问题：一杯纯咖啡，乐乐喝了半杯后，觉得有些苦，就兑了一些牛奶。他又喝了半杯。乐乐第二次喝了多少杯纯咖啡？

布置任务：在练习纸上通过画图的方法详细清晰地表示出你的思考过程。（需要知道“一些”是多少的同学，填入需兑的牛奶量）

对比：比较不同的示意图和解答，为什么兑的牛奶量不一样，但第二次喝的纯咖啡量却不变，都是■杯呢？

（2）动态演示，理解本质。

再添牛奶：如果只加一滴牛奶呢？一桶牛奶呢？第二次喝的纯咖啡量会怎样？为什么？

课件演示，看清本质：无论加入多少牛奶，纯咖啡的总量都是不变的，所以我们只考虑纯咖啡就可以了。

小结：生活中的“混合”转变为数学思考中的“分离”，更好地帮助我们聚焦问题的关键，不被无关的信息干扰。

设计意图：解题的关键是在“加牛奶”的变化过程中抓住不变的量“纯咖啡的总量”。本环节通过兑不同量的牛奶，帮助学生看清了“变”中“不变”的规律;再运用多媒体动态演示，带着学生经历直观想象、抽象、建模等过程，从静止到动态，将抽象的数量关系与直观的几何图形结合，将抽象思维与形象思维结合，促进学生从表面到深層的理解，感悟数形结合的数学思想。

在做了“基于现实情境下的问题解决”研究之后，笔者深深感受到，对于解决现实问题，指导学生形成一般步骤，掌握解题策略，才能促进其提高问题的解决能力，培养数学学科核心素养。