卢小往

(1.兰州理工大学 理学院，甘肃 兰州 730050；2.淮安市楚州中学，江苏 淮安 223200)

1 引言

素子模是素理想的推广,最近几年许多学者对素子模做了大量的研究[1～8].文献[1]给出了素子模的概念并讨论了其性质.文献[2]对素子模做了推广,给出弱素子模的概念及其性质.文献[3]又将弱素子模推广到几乎素子模,指出素子模是几乎素子模但反之未必.另一方面,文献[4]引入了经典素子模,并且指出经典素子模比素子模更自然.受其启发本文引入几乎经典素子模,并研究其性质.

本文中的环R指含幺交换环,所涉及的模均为左R-模.设M是R-模，N是M的真子模；I是环R的真理想，a∈R.记

(N∶M)={r∈R|rM⊆N}，(N∶I)={m∈M|Im⊆N}，(N∶a)={m∈M|am∈N}.

称I为弱素理想[5],如果对任意a,b∈R且满足0≠ab∈I,有a∈I或b∈I;称I为几乎素理想[6],如果对任意a,b∈R且满足ab∈II2,有a∈I或b∈I.称N为素子模[1],如果对任意a∈R,m∈M且满足am∈N,有m∈N或a∈(N∶M)；称N为几乎素子模[3],如果对任意a∈R,m∈M且满足am∈N(N∶M)N,有m∈N或a∈(N∶M);称N为经典素子模[4],如果对任意a,b∈R,m∈M且满足abm∈N, 有am∈N或bm∈N;称N为弱素子模[2],如果对任意a∈R,m∈M且满足0≠am∈N,有m∈M或a∈(N∶M);称N为弱经典素子模[7],如果对任意a,b∈R,m∈M且满足0≠abm∈N,有am∈N或bm∈N.

2 主要结果

定义1 称M的真子模N为几乎经典素子模,如果对任意a,b∈R,m∈M且满足abm∈N(N∶M)N,有am∈N或bm∈N.

定理1 设M是R-模,N是M的真子模, 则下列各款等价：

(1)N是几乎经典素子模.

(2) 对任意a,b∈R,有(N∶ab)=((N∶M)N∶ab)∪(N∶a)∪(N∶b).

(3) 若a∈R和m∈M满足am∉N，则(N∶am)=((N∶M)N∶am)∪(N∶m).

(4) 若a∈R和m∈M满足am∉N,则(N∶am)=((N∶M)N∶am)，或(N∶am)=(N∶m).

(5) 若a∈R，R的理想I和m∈M满足aIm⊆N(N∶M)N,则am∈N或Im⊆N.

(6) 对R的任意理想I和任意a∈R,有(N∶aI)=((N∶M)N∶aI)∪(N∶a)∪(N∶I).

(7) 若R的理想I和m∈M满足ImN,则(N∶Im)=((N∶M)N∶Im)∪(N∶m).

(8) 若R的理想I和m∈M满足ImN,则(N∶Im)=((N∶M)N∶Im)或(N∶Im)=(N∶m).

(9) 若R的理想I,J和m∈M满足IJm⊆N(N∶M)N,则Im⊆N或者Jm⊆N.

证明(1)⟹(2) 设m∈(N∶ab)，则abm∈N.如果abm∈(N∶M)N,则m∈((N∶M)N∶ab).若abm∉(N∶M)N,则am∈N或bm∈N,即m∈(N∶a)或m∈(N∶b),从而(N∶ab)⊆((N∶M)N∶ab)∪(N∶a)∪(N∶b).反过来的包含关系是显然的.

(2)⟹(3) 设a∈R,m∈M，且am∉N.若x∈(N∶am)，则axm∈N.因此m∈(N∶ax).由am∉N,得m∉(N∶a).根据条件(2)，有m∈((N∶M)N∶ax)或m∈(N∶x),即x∈((N∶M)N∶am)或x∈(N∶m),从而(N∶am)⊆((N∶M)N∶am)∪(N∶m).反过来的包含关系……