付伊嘉, 周红军

(陕西师范大学数学与统计学院，西安 710119)

0 引言

模糊蕴涵在包括模糊形态学、图像处理、词语计算、数据挖掘、粗糙集、模糊关系方程等在内的诸多模糊数学分支中扮演着重要的角色[1–7]。因此，很多学者致力于模糊蕴涵的研究，并且促进了模糊蕴涵的快速发展。根据构造方法，模糊蕴涵可分为(S,N)-蕴涵、R-蕴涵、QL-蕴涵、Yager 蕴涵以及序和蕴涵[8–10]。最近，文献[11–14]中基于连续三角模的幂提出了T-幂蕴涵。文献[15–17]对这类蕴涵的一些重要性质做了深入研究，T-幂蕴涵的重要性在于其可以满足一些特殊的性质，这使得它在近似推理的应用中是不可或缺的，本文也将说明T- 幂蕴涵不同于其他各类模糊蕴涵。

各类模糊蕴涵关于三角模和三角余模的分配方程是重要的研究方向，主要包括如下四类分配方程，它们分别是二值命题逻辑中相应重言式的模糊化，在刻画逻辑代数的代数结构和解决模糊系统中推理规则爆炸问题中均起着重要作用[18–19]

其中I是模糊蕴涵，T、T1、T2是三角模，S、S1、S2是三角余模。目前主要研究成果有：

1) 文献[20]给出了当I是(S,N)-蕴涵、R-蕴涵、QL-蕴涵时，分配方程(1)～(4)的解；

2) 文献[9]给出了序和蕴涵关于三角模和三角余模的四类分配方程的解；

3) 文献[21]研究了四类分配方程在I取一些特殊的R-蕴涵和S-蕴涵时，T与S的结构刻画；

4) 文献[22]研究了当I是由严格三角模生成的R-蕴涵时，分配方程I(x,S(y,z)) =S(I(x,y),I(x,z))的求解问题；

5) 文献[23–24]分别将四类分配方程中的三角模T和三角余模S推广到可表示一致模的情形，当T和S都是给定的可表示一致模时，刻画了模糊蕴涵I满足式(1)和式(2)时的结构；……