广东省佛山市第四中学(528000) 黄 仪

解三角形中的最值问题,一般是利用正余弦定理,结合基本不等式,或三角函数的有界性,二次函数的最值等方法求解,但通常会推导过程繁冗,计算量大,容易出错,尤其是选择填空题,做题耗时过多,得不偿失.三角形中角度和边长的变化,其实就是平面几何中点和线的变化,能否跳出知识的局限,利用平面几何辅助解题? 平面几何中的圆,由于其半径和圆心角,圆周角的特性,往往成为一个很好的解题助力工具.

一、角的转化

三角形中,当点动而角不变时,如果定角所对的边也是定值,求最值问题时,可将角转化为同圆中同弧所对的圆周角或圆心角, 利用同弧所对的圆周角或圆心角不变的性质,化动为静.

例1(2014 高考新课标Ⅰ卷理科) 已知a,b,c分别为ΔABC的三个内角A,B,C的对边,a= 2 且(2 +b)(sⅰnA −sⅰnB) = (c −b)sⅰnC, 则ΔABC的面积的最大值为____.

解由正弦定理, (2 +b)(sⅰnA−sⅰnB)=(c−b)sⅰnC即(2+b)(a−b)=c(c−b),将a=2代入整理得b2+c2−a2=bc,所以cosA=边a为定长2,角A为定值, 构造ΔABC外接圆O, 则点A可看作圆O中所对的圆周角∠BAC的顶点,由垂径定理易知当AO⊥BC时,ΔABC的面积最大,为

图1

评析这是一道求面积最值的经典题目,方法多样.构造圆,利用几何辅助解题是最灵活,计算量最少的解法.通过角度不变,点A可看作在圆周上运动,角A两边长的变化转化为三角形高的变化,求面积的最值即求高的最值.

例2ΔABC中, ∠ABC= 90°,AC= 2BC=P是ΔABC内一动点,∠BPC= 120°,则AP的最小值为____.

解以BC为x轴,BA为y轴建立平面直角坐标系, 构造圆O, 使BC为圆O的弦, ∠BPC为优弧BC所对的圆周角恒为120°, 则点P的运动轨迹为弧BC.线段AP的最小值……