山西省太原市第三实验中学(030031) 董立伟

普通高中课程标准实验教科书《数学4·必修·A 版》(人民教育出版社,2007年2月第2 版)第147 页复习参考题B组第7 题如下:

题目如图1,正方形ABCD的边长为1,P,Q分别为边AB,DA上的点.当ΔAPQ的周长为2 时,求∠PCQ的大小.

与教科书配套的《教师教学用书》第131 页给出了本题的如下基于三角恒等变换视角的解答:

图1

设AP=x,AQ=y, ∠BCP=α, ∠DCQ=β, 则tanα=1−x,tanβ=1−y.于是

又ΔAPQ的周长为2,即x+y+变形可得

于是tan(α+β) =又0＜α+β ＜所以α+β=

本文沿用上述解答中各几何量的表示法,在此基础上对本题做深入探究.

探究一本题还有其他的解题视角吗?

解法一(平面向量的视角)建立如图 2 所示平面直角坐标系.则P(x,0),Q(0,y),C(1,1).所 以,(x −1,−1),= (−1,y −1).cos ∠PCQ=

图2

展开即

将②代入上式并化简得到

因为0＜ x,y ＜1, 所以, cos ∠PCQ=又因为0＜∠PCQ ＜所以,∠PCQ=

解法二(解三角形的视角)AP=x,AQ=y, 所以PB= 1−x,QD= 1−y,PC== 2−(x+y).在ΔCPQ中,由余弦定理有

将②代入上式并化简得

因为0＜ x,y ＜1, 所以, cos ∠PCQ=又因为0＜∠PCQ ＜所以,∠PCQ=

解法三(平面几何的视角)如图3, 延长AB至点S, 使BS=DQ= 1−y,从而PS=PQ.连接CS,则CS=CQ.所以, ΔCPQ∽= ΔCPS,ΔBCS∽= ΔDCQ.故

图3

注1解法三说明,当ΔAPQ的周长为2 时,若过点C作线段PQ的垂线CR(垂足为R),则有以下三个结论成立:

结论1|CR|=1.

结论2 ΔPCQ是由ΔBCP与ΔDCQ分别沿CP与CQ翻折至边CB、CD重合而得.

结论3 点R分线段PQ所成比为

探究二ΔAPQ的周长为其他定值时,∠PCQ是一个定值吗?

设ΔAPQ的周长为n(0＜n ＜2+则x+y+=n.变形可得

将③代入①, 得tan(α+β) =如果∠PCQ是定值,则解得n=2.故当且仅当ΔAPQ的周长为2 时,∠PCQ是一个定值.

探究三如何找出所有的周长为2 的ΔAPQ?

我们首先解决如下问题:当ΔAPQ的周长为2 时, 线段PQ上使得的点R的轨迹是什么图形? 建立如图4 所示平面直角坐标系,设R(x,y).由注1,R点是由ΔBCP与ΔDCQ分别沿CP与CQ翻折至CB与CD重合而得,且|CR|=1.不妨设Q(0,y0).则有

图……