北京市日坛中学(100020) 李妍华 徐小花 王树文

2020年高考、强基、竞赛中多元函数最值问题高频出现,多元函数问题形式复杂,解法灵活,能有效考察学生转化构造创新的能力.多元函数最值问题我们常用消元、重要不等式、三角换元等方法完成.“齐次化法”也是解答多元函数最值问题的常见策略之一, 此法有其普适性和广泛的应用性,笔者以2020年几个考题为例,将其“齐次化法”求解与读者交流.

例1(2020年北大强基计划第9 题)使得5x+a(x+y)对所有正实数x,y都成立的实数a的最小值为( )

A.8 B.9 C.10 D.前三个答案都不对

解析由于x,y为正实数,且5x+≤a(x+y),参变分离得√

设f=则fmax≤a.因此将问题转化为求二元函数最大值问题.对f进行变形,得f=设=t,(t ＞0),则f=于是,我们可以利用Δ 判断法求f的最大值.

由f的表达式得到: (5−f)t+−f= 0.我们可以把该式看成是一个关于的一个一元二次方程.由Δ ≥0,得122+4(5−f)f≥0,得f2−5f −36 ≤0,解得−4 ≤f≤9.因为t ＞0,f ＞0,所以0＜f≤9.当t=时(满足t ＞0),f取得最大值9.故选B.

点评参变分离是求参数取值范围的有效方法也是常规方法.本题困难的地方是参变分离后对二元函数求最大值.在本文我们利用“齐次化法”巧妙地将两个变量x,y整合为一个新变量将二元函数最大值问题转化为一元函数最大值问题,再利用Δ 判断法求得f的最大值为9,问题得到圆满解决.

例2(2020年复旦大学自主招生第2 题)已知实数x、y,满足x2+2xy −1=0,求x2+y2的最小值.

解析因为x2+2xy −1=0,所以x2+2xy=1,依题

点评“齐次化法”往往适用于分式结构,高中生比较熟悉的是此法在三角函数中的应用,例如: 已知tanα= 2,求的值.在本题中x2+y2是一个整式,先要……