新疆乌鲁木齐市新疆师范大学数学科学学院(830017) 胡明茹 杨 军

三角公式因内容繁多、结构复杂,导致其记忆难度较大,容易混淆,进而难以理解公式本身的意义.数学公式反映了数学对象的属性之间的关系,具有一定的形式符号化的抽象性和概括性的特征[1].若借助图形直观表征三角公式,则有助于理解公式的内在涵义.正所谓“数缺形时少直观,形缺数时难入微; 数形结合百般好,隔离分家万事休”(华罗庚教授语).本文利用单位圆中的三角函数线,对平方关系、半角的正切公式、两角差与和的余弦公式、正弦公式、正切公式进行直观的表征,以实现数学公式可视化的目的.

一、平方关系

如图1 所示的单位圆中, 角α的顶点在原点, 始边与x轴非负半轴重合, 终边与单位圆交于点P.分别作出角α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT、余切线BS、正割线OT、余割线OS.则易知OM2+MP2= 1,即sⅰn2α+cos2α=1;AT2+OA2=OT2,即tan2α+1=sec2α;BS2+OB2=OS2,即cot2α+1=csc2α.

图1

图2

二、半角的正切公式

实现半角正切公式的图形表示的关键是构造出半角.为此先构造锐角的半角,进而推广到任意角的情形.

如图2 所示的单位圆中,角α以x轴非负半轴为始边且与单位圆交于点B,其终边与单位圆交于点P.设单位圆与x轴负半轴交于点C, 连接PC,PB, 由同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半,知∠PCB=过点P作PA垂直于x轴, 垂足为A, 那么AP为角α的正弦线,OA为角α的余弦线.利用锐角正切的定义以及三角函数线可知

注意到直径所对的圆周角∠CPB= 90°,而∠PAB=90°, 从而∠PBA在两个不同的直角三角形中的余角相等, 即∠APB= ∠PCA=同……