薛建明 胡兴凯

【摘要】实对称矩阵实一类特殊的方阵，是线性代数或是高等代数课程教学过程中的重点和难点之一，本文梳理了实对称矩阵的性质，给出了实对称矩阵在主成分分析法中的应用，最后给出了例子来展示主成分分析法的运用，丰富了实对称矩阵的教学内容。

【关键词】实对称矩阵  主成分分析  综合评价

【基金项目】2019年云南省教育厅科学研究基金项目“矩阵奇异值与酉不变范数不等式的研究”（项目编号：2019J0350）。

【中图分类号】O178;O177.1  【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）40-0158-02

一、实对称矩阵的定义及其性质

在学习综合评价和机器学习等课程的学习过程中，难免会与矩阵打交道，而实对称矩阵更是其中常用的一类特殊矩阵。虽然实对称矩阵的定义比较简单：若实矩阵A满足AT=A，则我们称其为实对称矩阵，但实对称矩阵具有非常好的性质[1-3]：

（1）实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

（2）实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

（3）实对称矩阵A可相似对角化且其特征值为相似对角化矩阵对角线的元素。

（4）设λ是A的重特征值，则其几何重数等于代数重数。

（5）实对称矩阵A一定可正交相似对角化。

（6）设A的特征值为λn≤…≤λ2≤λ1，则对于任意的x∈Rn，都有：

λnxTx≤xTAx≤λ1xTx

二、实对称矩阵的应用

主成分分析是一种降维方法，其思路是利用数学方法找出几个新的变量来替代原来线性相关的变量，同时尽可能地代表原来变量的信息[4]。主成分分析的处理方法是将原来的变量做线性组合，作为新的综合变量，首先将选取的第一个线性组合即第一个综合变量记为F1，自然的我们希望它尽可能多的反映原来变量的信息，这里“信息”用方差来测量，即希望Var（F1）越大，表示F1包含的信息越多。……