王建云　王甜甜　全宏波　田智鲲　杨雪花

【摘要】拉格朗日中值定理是微积分的理论基础，是建立函数和导数相互关系的重要桥梁。介绍了拉格朗日中值定理的一些应用，如求解函数极限、证明不等式、证明恒等式、判断函数的一致连续性、证明方程根的存在性、判断函数的单调性、判别级数的敛散性等。

【关键词】拉格朗日中值定理  辅助函数  应用

【基金项目】湖南省普通高等学校教学改革研究项目（湘教通〔2019〕291号，序号729）;湖南省普通高等学校教学改革研究项目（HNJG-2020-0587）;湖南工业大学教学改革研究项目（2020A16）。

【中图分类号】O172  【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）08-0108-02

1.引言

拉格朗日中值定理是微积分的理论基础，为微分中值定理的核心，它是罗尔定理的推广，也是柯西中值定理的一种特殊情形。它建立起了函数值与导数之间的定量关系，成为讨论由导数的已知性质推断函数具有某些性质的一个有效工具。拉格朗日中值定理的应用非常广泛，许多学者也对其进行了一些相关的研究[1-9]。本文主要在求解函数极限、证明不等式、证明恒等式、判断函数的一致连续性、证明方程根的存在性、判断函数的单调性、判别级数的敛散性等方面，对拉格朗日中值定理的应用进行了详细地分析和讨论，并通过具体例子来呈现一些应用技巧。

2.拉格朗日中值定理的应用

2.1求解函数极限

在拉格朗日中值定理的表达式中，f（b）-f（a）就是函数f（x）在区间[a， b]上的增量。从而拉格朗日中值定理可以看作是，函数f（x）在区间[a， b]上的增量与其区间长度的比值等于f（x）在某一点的导数。……