甘志国

(北京丰台二中 100071)

定理1 以等轴双曲线上任意三点为顶点的三角形的垂心也在该双曲线上.

解析(1,0).我们用平移的方法解这道题.

定理2 以等轴双曲线上任意三点为顶点的三角形各边中点为顶点的三角形的外接圆过定点且该定点就是该等轴双曲线的中心.

①

②

③

①-②，③-②，分别得

④

⑤

又由①，可求得F=0.

⑥

⑦

可求得圆⑥与圆⑦的公共点是坐标原点O.因此，若以曲线Γ上的任意三点为顶点的三角形各边中点为顶点的三角形的外接圆(即圆⑥)经过定点，则该定点只可能是坐标原点O.

又因为圆⑥过坐标原点O，所以结论成立.

题2 (题1的类题)在平面直角坐标系xOy中，设A,B,C是曲线x2-y2+2x+4y+a=0(a≠-3)上三个两两互异的点，且D,E,F分别是线段BC,CA,AB的中点，则过D,E,F三点的圆一定经过的定点是____.

解析(-1,2).可得题中的曲线即等轴双曲线(x+1)2-(y-2)2=-a-3(-a-3≠0)，其对称中心是点(-1,2).再由定理可得答案.

笔者由定理1,2联想到了九点圆定理：三角形三边的中点，三条高的垂足和三个欧拉点(连接三角形各顶点与垂心所得三线段的中点)这九点共圆.由此结论及定理1,2，可得.

定理3 如图1,2所示，若三点A1,A2,A3均在等轴双曲线Γ上(在图1中，三点A1,A2,A3均在双曲线Γ的同一支上；在图2中，三点A1,A2,A3不均在双曲线Γ的同一支上)，则△A1A2A3的垂心H也在双曲线Γ上，且△A1A2A3三边A2A3,A3A1,A1A2的中点B1,B2,B3、三条高AiHi的垂足Hi、三条线段AiH的中点Ci(i=1,2,3)及双曲线Γ的中心O这十点共圆.