李昌成

(新疆乌鲁木齐市第八中学 830002)

最近在教学过程中遇到一个问题，教师看起来挺容易，但是学生觉得很困难.在我所带的实验班中正确率才8%，几乎全军覆灭.于是，我对此类问题进行了深入探究.现分享与此，以飨读者.

一、试题呈现

题目方程2x2+xy-y2-4x+5y-6=0表示( ).

A.一个圆 B.两条平行直线

C.两条相交直线 D.不确定

在和学生交流中发现，学生根本无从下手，仅能根据圆的一般方程排除A.至于后面三个选项更趋向于D，我哭笑不得.学生普遍反映不知道方程左边该怎样处理.

二、解法探究

首先，我请同学们一起观摩了参考答案：

由于2x2+xy-y2-4x+5y-6

=(2x-y)(x+y)-4x+5y-6

=(2x-y)(x+y)+2(x+y)-6x+3y-6

①

=(x+y)(2x-y+2)-3(2x-y+2)

②

=(2x-y+2)(x+y-3)，

所以根据(2x-y+2)(x+y-3)=0，得

2x-y+2=0，或x+y-3=0.

据此判断原方程表示两条相交直线，故选C.

这个解法遭到了同学们的普遍质疑：①处的2(x+y)是怎样想到的？②的公因式2x-y+2是偶然的，还是必然的？①中能否去拼凑2x-y呢？这种解法具有一般性吗？调整系数还可以这样分解吗？

在学生急切期盼中，我给学生分析解答如下：

基于2x2+xy-y2=(2x-y)(x+y)，说明

2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x-y+m)(x+y+n).

③

否则，关于x，y的一次项和常数项没有来源.

下面用待定系数法求解m，n.

(2x-y+m)(x+y+n)

=(2x-y)(x+y)+n(2x-y)+m(x+y)+mn

=(2x-y)(x+y)+(2n+m)x+(m-n)y+mn.

所以2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x-y+2)(x+y-3).

殊途同归，学生基本接受了，他们认为这种解法可以复制.事实上，这类题目有个大前提：前三项齐次式必须可以分解，否则这种办法搁浅.

三、本质探究

设二元二次方程为ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0(abc≠0)其中a=a1×a2，c=c1×c2，b=a1c2+a2c1.

于是ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=(a1x+c1y)(a2x+c2y)+dx+ey+f.

令ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=(a1x+c1y+m)(a2x+c2y+n)=(a1x+c1y)(a2x+c2y)+n(a1x+c1y)+m(a2x+c2y)+mn=(a1x+c1y)(a2x+c2y)+(na1+ma2)·x+(nc1+mc2)y+mn,

至此，我们把这一类二元二次方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0(其中a=a1×a2,c=c1×c2,b=a1c2+a2c1)问题本质理清了.它表示的两条相交直线是：

四、拓展延伸

我们知道，平面上两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种.既然两条相交线可以有这样的表示方式，那么两条直线平行、重合又该如何表示呢？……