肖志军

(北京工业大学附属中学 100022)

在近几年高考和模拟考试中，常有一类抽象可导函数成为考试的热点，此类试题难度较大，学生往往感到无从下手.若能根据题目条件构造恰当的相关函数，根据条件得出所构造函数的性质，如奇偶性、增减性、周期性等基本性质，即可巧妙地破解此类抽象函数不等式问题，本文结合实例，谈谈构造哪些相关函数，如何构造相关函数.

一、构造和差函数

例2 设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，对任意的x∈R，有f(-x)+f(x)=x2，且x∈(0,+∞)时，f′(x)>x．若f(2-a)-f(a)≥2-2a，则实数a的取值范围为( ).

A．[1,+∞) B．(-∞,1]

C．(-∞,2] D．[2,+∞)

因为f(e)=-1，所以g(e)=f(e)+lne=0；所以当x∈(0,e)，g(x)<0，当x∈(e,+∞)，g(x)>0.

所以当x∈(e,+∞)，则不等式f(x)+lnx>0成立.

思路点拨构造函数g(x)=f(x)-ex，f(2)-f(1)>e2-e.

二、构造积函数

例7 已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且满足f(x)+xf′(x)>0(f′(x)是f(x)的导函数)，则不等式(x-1)f(x2-1)

解析构造函数g(x)=xf(x)，其中x>0，则g′(x)=f(x)+xf′(x)>0，所以函数y=g(x)在定义域(0,+∞)上为增函数.在不等式(x-1)f(x2-1)

故不等式(x-1)f(x2-1)

例8 设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)+xf′(x)>x2，则不等式(x+2020)2f(x+2020)-9f(-3)>0的解集是____.

解析将不等式(x+2020)2f(x+2020)-9f(-3)>0化为(x+2020)2f(x+2020)>(-3)2f(-3)，构造函数g(x)=x2f(x)，则上式化为g(x+2020)>g(-3).因为g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)，由已知2f(x)+xf′(x)>x2，又x∈(-∞,0)，所以g′(x)<0，g(x)在(-∞,0)上是减函数，故x+2020<-3，x<-2023.

所以不等式的解集是(-∞,-2023)．

具有特征xf′(x)+f(x)时，可构造g(x)=xf(x)；具有特征xf′(x)+2f(x)时，可构造g(x)=x2f(x)；一般情况，具有特征xf′(x)+kf(x)时，可构造g(x)=xkf(x).

例9 已知奇函数f(x)和其导函数f′(x)的定义域均为R，当x∈(0,+∞)时，3f(x)+xf′(x)<0，则不等式(x-1)3f(x-1)-8x3f(2x)<0的解集为( ).

例10 已知函数f(x)的定义域为R，其图象关于点(-1,0)中心对称，其导函数为f′(x)，当x<-1时，(x+1)[f(x)+(x+1)f′(x)]<0，则不等式xf(x-1)>f(0)的解集为( ).

A．(1,+∞) B．(-∞,-1)

C．(-1,1) D．(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析构造函数g(x)=(x+1)f(x)，则g′(x)=f(x)+(x+1)f′(x).

因为当x<-1时，(x+1)[f(x)+(x+1)f′(x)]<0，所以当x<-1时，f(x)+(x+1)f′(x)>0，则g(x)在(-∞,-1)上递增.因为函数f(x) 的定义域为R，其图象关于点(-1,0)中心对称，所以函数f(x-1)的图象关于点(0,0)中心对称，则函数f(x-1)是奇函数，令h(x)=g(x-1)=xf(x-1),所以h(x)是R上的偶函数，且在(-∞,0)递增，由偶函数的性质得：函数h(x)在(0,+∞)上递减.因为h(1)=f(0),所以不等式xf(x-1)>f(0)化为h(x)>h(1)，即|x|<1，解得-1

具有特征(x+1)f′(x)+f(x……