陕西 成均武 党维军

2020年全国高考理综卷Ⅰ第18题，考查带电粒子在有界匀强磁场中做圆周运动的临界极值问题。此类问题是高考的热点，也是考查学生科学思维及核心素养的重点题型。本文立足科学思维，根据带电粒子受洛伦兹力的特点，建立圆周运动模型，根据物理规律，科学推理转化极值问题，运用数学方法，科学论证极值条件。注重数理思想，运用分类讨论思想分析临界极值状态，通过几何图解法、函数极值法和焦点三角形法计算极值及其存在的条件。另外，通过尺规作图、特殊值法和排除法得出正确答案，形成了多种解题方法，充分体现应用数学思想方法解决物理问题的重要性。

一、真题呈现

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图1

二、审题与分析

图2

三、最大圆心角的3种数学解法

解法1：几何图解法

图3

图4

【思路点拨】分析题意作图后，应考虑当粒子出射点在何处时，轨迹弧所对的圆心角有最大值。因直线cabd上方的轨迹弧恒为半圆，故半圆形区域内的轨迹弧所对的圆心角有最大值即可。最大值的确定需要运用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半、圆的切线及直角三角形相关几何知识。几何图解法是本题最简捷的一种解题方法，但是需要学生具有较好的平面几何素养。

解法2：函数极值法

图5

根据几何关系有PO=R，PO′=r，O′O=2R-r，由余弦定理可知

【思路点拨】作图分析题意后，不难发现磁场中轨迹弧的圆心角α随着轨迹半径r的变化而变化，根据余弦定理建立函数关系，整理函数表达式后再求函数极值。……