陈冬梅 李春艳

摘  要：从有质量粒子的Lagrangian作用量出发，采用Euler-Lagrange变分原理在一般（非拖曳）坐标系下对五维Myers-Perry黑洞中的类时和类光测地线方程作了自洽的、统一的推导，使得对转动黑洞隧穿辐射的研究不再局限于拖曳坐标系。紧接着采用Parikh-Wilczek的半经典隧穿方法，对有质量粒子在Myers-Perry黑洞视界附近的隧穿辐射重新做了研究，并给出了其隧穿几率。

关键词：Myers-Perry黑洞;隧穿辐射;测地线方程

中图分类号：P145.8 文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2021）18-0116-04

Abstract： Starting from the Lagrangian action of mass particles， the Euler-Lagrange variational principle is used to make a self consistent and unified derivation to the time-like and light like geodesic equations in the five dimensional Myers-Perry black hole in the general （non towed） coordinate system， so that the research on the tunneling radiation of rotating black hole is no longer limited to the towed coordinate system. Then， using Parikh-Wilczek's semiclassical tunneling method， the tunneling radiation of mass particles near the field of view of Myers-Perry black hole is re studied， and its tunneling probability is given.

Keywords： Myers-Perry black hole; tunneling radiation; geodesic equation

0  引  言

自廣义相对论建立以来，人们根据Einstein引力场方程，求得了黑洞的精确解。在经典理论中，因为在黑洞的附近万有引力强大到甚至连光也不能逃逸出来。这就是最初其名称的由来。在1974年，Hawking辐射[1]从理论上证明了黑洞不再是完全黑的，Hawking通过考察一颗恒星在塌缩形成黑洞过程中的量子隧道效应，得到黑洞从其视界会发出理想的黑体热辐射。由于黑体辐射不携带任何信息，当黑洞完全蒸发后就会得到所谓的信息丢失佯谬。由此对 Hawking辐射人们提出了各种不同的方法。2000年，Parikh和Wilczek[2]采用半经典的隧穿图像研究了Schwarzschild黑洞中无质量粒子的 Hawking 辐射，得到了黑洞辐射的隧穿几率，给出了对Hawking辐射谱的修正。他们在考虑到能量守恒和时空背景几何可以有一定涨落的情况下，证明了黑洞的辐射谱不是纯热谱，提供了一个解决信息丢失问题的可能途经。随后，人们就把P-W半经典隧穿方法推广到有质量粒子的Hawking辐射[3]和转动黑洞情形，例如：Kerr，Kerr-Newman，Kerr-Sen[4-10]和EMDA[11]黑洞。

在推广的过程中出现以下两个问题。一方面，采用Parikh-Wilczek半经典隧穿方法研究隧穿辐射时，人们通常采用类似于Painlevé-Gullstrand坐标系。而并非所有的转动黑洞已知解都已被给出相应的类Painlevé-Gullstrand坐标形式，在文献[8]中，作者以三维BTZ黑洞为例讲清楚了应该如何做坐标变换得到正确的度规的类Painlevé 坐标表示。本文的第一个工作就是利用坐标变换给出了五维Myers-Perry黑洞的类Painlevé-Gullstrand坐标形式。此外，人们对转动黑洞隧穿辐射还需要进一步作拖曳坐标变换，在与黑洞共转动的拖曳坐标系中推导类光测地线，因为在非拖曳坐标系中非常难以处理。广义协变性原理要求物理规律在任意坐标变换下保持形式不变，依据这一原理可以断定物理规律不应依赖于具体坐标系的选择。Hawking辐射是黑洞的一个普适的量子效应，我们有理由相信在一般的非拖曳坐标系中研究黑洞隧穿辐射可以与采用拖曳坐标系时得到的结果相同。另一方面，在研究（转动）黑洞的隧穿辐射中推导各种粒子的测地线方程直接影响到对黑洞视界附近处出射粒子的隧穿几率计算的数学复杂程度，在文献中[12]表明类时和类光测地线方程都可以利用Euler-Lagrange变分原理对Lagrangian作用量作最小变分得到。在本文之前，文献[13]也采用了同样的思想，以Kerr黑洞为代表性的例子，采用Lagrange力学中的分析方法对有质量粒子和无质量粒子的测地线运动方程在拖曳坐标系和一般的非拖曳系中做统一的推导，然后对Kerr黑洞的隧穿辐射在拖曳坐标系中重新做了进一步的研究，其结果与文献[8]中一般的非拖曳系是完全一样的结果，表明对黑洞辐射的研究不再局限于拖曳坐标系。

本文将上述工作推广到五维转动Myers-Perry黑洞中有质量粒子的隧穿辐射情形，采用Lagrange力学中的变分法在一般的坐标系中重新推导出了有质量粒子的测地线方程，并在考虑了自引力修正的条件下，在一般的非拖曳坐标系中给出了Myers-Perry黑洞Hawking辐射的隧穿几率。

1  Myers-Perry黑洞解的新度规形式和有质量粒子的测地线方程

1.1  Myers-Perry度规的新形式

1986年，Myers 和Perry首次得到了具有两个独立角动量的五维旋转黑洞的度规[14]。在1999年霍金给出了具有负宇宙常数的解[15]。在Boyer-Lindquist坐标中，Myers-Perry度规的线元可以被写成这一种优雅的形式：

为了消除其视界处的表观坐标奇异性，需要完成适当的坐标变换，仿照文献[8]，这里先引入以下坐标变换：

然后，便得到了五维转动 Myers-Perry黑洞解的一种新的类Painlevé-Gullstrand 坐标形式，其线元的新形式为：

经过坐标变换后的线元描述的黑洞时空是一般的非拖曳坐标系，其优越性表现在于已完全消除了视界的坐标奇异性。

1.2  有质量粒子的测地线方程

在一般的五维转动Myers-Perry黑洞时空中，类时与类光测地线都至少存在4个守恒的积分常数[12]，用它们完全可以确定经典粒子的运动方程，所以本小结我们用变分法从Lagrangian作用量中导出积分常数，即与三个Killing矢量分别对应的能量E和角动量ℒ1，ℒ2以及哈密顿，然后利用它们推导出有质量粒子的测地线方程。其中，Hamiltonian量为一守恒量H=-m0k/2，它等价于类时测地线的4-速度归一化条件。

我们首先将从黑洞的类Painlevé-Gullstrand坐标形式出发，在此坐标系中，我们考虑质量为m0的粒子的经典作用量：

其中，t和φ，ψ是循环坐标，分别对应了三个守恒积分常数Pt=E和PФ=ℒ1，Pѱ=ℒ2。经过 Legendre变换，可得到有质量粒子的 Hamiltonian 为：

至此，我们已采用Myers-Perry度规的新的类Painlevé-Gullstrand坐标表示（4）并在一般（非拖曳）坐标系下统一地推导出该时空中有质量带电粒子的测地线方程，式（17）～（19） 的无质量极限m=0或k=0即为类光粒子的测地线方程。

2  事件视界处粒子的隧穿几率

这一小节我们使用Parikh-Wilczek半经典隧穿图像方法来研究Hawking辐射。粒子的隧穿过程发生在黑洞视界附近，在黑洞外视界内产生出一对正能粒子和负能粒子，其中正能粒子将通过隧穿效应从黑洞外视界逃离至无穷远处，而负能粒子则被黑洞吸收。由于有粒子隧穿出黑洞，黑洞的外视界面会发生收缩，收缩前后的视界半径ri和rf对应于隧穿势垒的两个转折点。考虑到有质量粒子间的自引力作用，根据能量守恒和角动量守恒的条件下，我们保持时空的总能量固定而允许黑洞质量发生涨落。当黑洞辐射出能量为ω=m0的粒子后黑洞的质量和角动量分别为（M-ω）和（M-ω）a。

（37）即为Myers-Perry黑洞在辐射有质量带电粒子前后的熵差。

我们在对Myers-Perry黑洞的隧穿辐射进行重新研究的过程中，利用了Parikh-Wilczek半经典隧穿方法，得到了有质量粒子在Myers-Perry黑洞外视界辐射出来的隧穿几率，其结果与其他方法的一致。

3  結  论

本文在给出五维Myers-Perry黑洞的（一般非拖曳坐标系）度规新形式后，运用Lagrange作用量变分原理对该时空中有质量带电粒子的测地线方程做了新的推导。然后采用Parikh-Wilczek半经典隧穿方法对五维Myers-Perry黑洞的隧穿辐射重新做了研究，给出了隧穿几率。结果表明，对转动黑洞隧穿辐射的处理不仅可在任何坐标系中完成，而且也不再局限于采用拖曳坐标系。

参考文献：

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作者简介：陈冬梅（1998.01—），女，汉族，四川南充人，硕士研究生在读，研究方向：理论物理。