李海侠

(宝鸡文理学院数学与信息科学学院，宝鸡 721013)

1 引言

1931 年Allee 在研究过程中发现群居的生活状态有利于种群的增长，但是密度太大又会抑制种群的生长甚至会因为资源争夺而走向灭绝.对于每一个种群来说，必定存在着它独立的最适合自身生长繁殖的最佳密度，这就是Allee 效应.已有大量的理论和实验证明，Allee 效应与种群的灭绝密切相关，在很大程度上能增加低密度种群的灭绝风险，尤其对小种群、分散种群、稀有种群以及濒临灭绝种群的动力学行为具有非常大的影响.因此，研究具有Allee 效应的生物模型对生物保护具有很重要的意义，近年来受到了生物学家和数学家的很大关注[1-10].

本文在齐次Dirichlet 边界条件下考虑如下具有B-D 反应函数和Allee 效应捕食-食饵扩散模型

为了得到重要的结论，这节最后我们给出一些预备知识.

-Δψ+q(x)ψ =λψ, x ∈Ω, ψ =0, x ∈∂Ω,

则λ1(q)连续依赖q，λ1(q)是简单的.而且，如果q1≤q2, q1/≡q2，则λ1(q1)＜λ1(q2).为了简单起见，定义λ1(0)为λ1，相应于λ1的主特征函数记为ψ1.

非线性问题

众所周知，若a ＞λ1，则(2)存在唯一正解.我们定义唯一正解为θ(a,r).特别地，记θ(a,1)为θa，则θa＜a 且θa连续依赖a.

2 正解的存在性、不存在性和唯一性

考虑单物种问题

根据文献[6]可得如下引理.

引理1[6]系统(1)的任意正解(u,v)有先验估计

引理2[6]如果系统(1)有正解，则a1＞λ1, a2＞λ1.

为了计算不动点指数，引入以下记号

取q 充分大，使得q ＞max{m/k1+p1/d,a2(a1+k2)/k2}.定义算子A:E →E 为

证明 根据已知条件和定理1 可知系统(1)存在正解.采用反证法证明唯一性.假设系统(1)存在两个不同的正解(u1,v1)和(u2,v2)，其中ui＞0, vi＞0(i = 1,2).由比较原理和引理1 可知u*≤ui≤u*, v*≤vi≤v*，这里u*, v*分……