刘碧森　邓嘉鑫

【摘要】中值问题在高等数学中占有重要地位，是研究函数在某个区间整体性质的有力工具，是沟通函数与其导数性质的桥梁.中值问题也因其综合性使得题目显得灵活多变，让人感到难以下手.本文从一道习题出发，深入探讨一类中值问题的解决方法，详细讨论了解决中值问题的关键——原函数的具体构造方法.通过构造合适的原函数可将问题化难为易，化未知为已知，让这类问题迎刃而解，有迹可循.归纳总结类似习题的解决方法，对于微积分的学习大有裨益，善于总结规律与经验对于大学数学学习也有事半功倍的效果.

【关键词】微积分中值定理;多介值问题;原函数;构造方法

一、引言

介值问题、微分中值问题、极值问题、积分中值问题等问题都涉及中值点的存在性问题，在高等数学的各个知识点中占有非常重要的地位.若在要证明的微分表达式中出现多个介值点，这类问题往往难以入手.本文就一类中值点的存在问题中的多介值问题的解法进行讨论，提出这类问题的一般解法.

在教材[1]课后习题集中有如下习题：

习题设f（x）∈C[0，1]∩D（0，1），f（0）=0，f（1）=1.试证：在（0，1）内存在不同的ξ，η，使f′（ξ）f′（η）=1.

笔者发现，这类问题往往要证明的是含有不同介值点的和、差、积、商的形式，要证明的表达式一般是经过四则运算后的结果.

证法一 令F（x）=f（x）-1+x，则F（x）在[0，1]上连续，且F（0）=-1<0，F（1）=1>0，由介值定理知，存在x0∈（0，1），使得F（x0）=0，即f（x0）=1-x0.

在[x，x0]和[x0，1]上對f（x）分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点ξ∈（0，x0），η∈（x0，1），使得

f′（ξ）=f（x0）-f（0）x0-0，

f′（η）=f（1）-f（x0）1-x0，

于是

f′（ξ）f′（η）=f（x0）x0·1-f（x0）1-x0=1-x0x0·x01-x0=1.

证法二[2] 不……