李明浩

【摘要】 本文利用向量法和坐标法给出了空间解析几何中一类多线共点问题的三种解法.一题多解可以培养学生的创新精神和发散性思维.

【关键词】空间解析几何;多线共点;向量法;坐标法

《空间解析几何》是数学专业本科生的一门重要的基础理论课程，主要研究空间线、面及其位置关系.多线共点问题是空间解析几何中一类常见的问题.本文利用向量法和坐标法给出了这类问题的几种解法，旨在培养学生从多角度分析问题和解决问题的能力，从而提升学生的创新精神和发散性思维.

下面我们以教材[1]中的一道多线共点问题为例，介绍这类问题的几种解法.

例1 证明四面体对棱中点的连线交于一点且互相平分.

证明一 设四面体ABCD的六条棱AB，CD，AD，BC，BD，AC的中点分别为E，F，H，G，I，J，如图1所示.连接EF并设EF的中点为O.连接IO，OJ，HO，OG，下面只需要证明IO=OJ，HO=OG即可.

对于上述例题，我们已知交点的位置，即位于对边中点连线的中点.我们如果交点的位置不明确，可以尝试利用向量法或坐标法先确定交点的位置.

例2 证明四面体对棱中点的连线交于一点.

解 设四面体ABCD及其各边中点如图1所示.连接HF和EG，显然有HF=12AC=EG，因此四边形HFGE为平行四边形，对角线EF和HG交于一点且互相平分.从而可得该交点的位置.然后再利用例1的三种解法进行求解就可以了.

同理可得，如果O1与O3重合，则有λ1=λ3=3;如果O1与O4重合，则有λ1=λ4=3.因此λ1=λ2=λ3=λ4=3时，O1，O2，O3，O4重合，从而说明了四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，并且该点到顶点……