刘琳琳，李正波，范小明

（西南交通大学 数学学院，成都 611756）

飞机在高空高速飞行过程中，机身表面常常会遇到不稳定气流从而产生非线性振动。Berger型方程就是描述这类问题的偏微分方程。对于Berger型方程的研究，之前的探索主要关注于带有强阻尼g（ut）项的Berger型方程［1-7］，而对带有弱阻尼的Berger型方程则涉及较少［8-14］。Jorge等［14］研究了r阶延展项并且带有强阻尼g（ut）的Berger型方程，证明了全局吸引子的存在性。Potomkin［8］研究了带有记忆项并且延展项为2阶的Berger型方程的长时间动力学行为，在此基础上［8，14］，提出了带有弱阻尼记忆项以及r阶延展项的Berger型方程：

其中延展项T（·），非线性源项f（u）分别为

式中：Ω是R3中边界充分光滑的有界领域，函数u（x，t）表示金属板在x位置、t时刻的扰度。函数T（·）用于描述板面的伸缩程度，其中α与板平面上的压力值成正比，函数g（s）表示记忆内核。同时这里的边界条件意味着板的边缘是绞接的。

利用文献［13］中的方法引入新变量将非自治动力系统转化为自治动力系统，通过令v=ut将方程变成一阶的微分方程，再运用半群方法证明了带记忆项的Berger型方程的解是适定的，可以生成一个动力系统。将改进能量函数定义为Φ函数，证明了Φ函数是一个严格的Lyapunov函数，从而得到Berger型动力系统是一个梯度系统。不再沿用传统方法只关注单个轨道，而是借助研究2个轨道差的方法，证明了带有记忆项的Berger型动力系统在每个正向不变有界集上是拟稳定的，也就得到了动力系统是渐近光滑的。再根据文献［15］中定理7.5.9，证明了所研究的带记忆项的Berger型动力系统具有紧的全局吸引子A。……