颜福进

[摘  要] 教材是为教学服务的，而不是用来束缚、限制教学的. 教师应当广泛研读，比较各种版本的教材，取长补短，合理地加以整合;从教学的实际出发灵活地使用教材，精心设计教学过程，使学生真正地深刻理解数学知识和方法的产生过程，不断发展思维，提升数学素养.

[关键词] 不同版本教材;整合;探究;优越有效;正切函数

随着《普通高中数学课程标准（2017年版，2020年修订）》《中国高考评价体系》和《中国高考评价体系说明》的发布，不同版本的新教材开始使用. 新教材是新课程实施的重要资源，教师作为新课程的实施者，对教材的理解影响着新课程改革的推进. 教师应当广泛研读，对不同版本的教材、新旧教材进行比较，取长补短，合理地整合运用，从实际出发灵活地、创造性地使用教材，让课堂探究教学更加亲切自然、更加优越有效. 本文就谈谈基于教材的比较对“正切函数的图像与性质”的探究教学与思考.

[⇩] 教材的比较分析

“正切函数的图像与性质”是继学习正弦函数、余弦函数的图像与性质后研究的又一个三角函数内容. 苏教版新教材和旧教材相比没有变化，都是采用迁移类比研究，即先根据已学的知识或经验作出函数的图像，再根据函数的图像直观地认识函数的性质，最后用代数的方法对观察得出的性质严格证明或表述，意图是“由图识性”. 人教A版教材采取利用性质研究函数图像的方法，先结合已学的正切函数的相关知识（诱导公式等），总结正切函数的部分性质（奇偶性、周期性等），再根据这些性质作出正切函数的图像，然后根据函数的图像完善正切函数的其他性质. 北师大版与苏教版的处理方式一致，都是由图像得性质，区别在于北师大版不是用正切线几何描点，而是直接列表描点. 人教B版的处理方式与苏教版完全不同，它是先由三角函数的定义、诱导公式、单位圆中正切线的变化得到正切函数的全部性质，然后根据性质直接列表描点画出图像，主要是“依性作图”，这种处理方式不利于学生理解正切函数的图像与正切的定义之间的内在联系，不利于学生数学思维的发展.

通过比较不同版本的教材，觉得教学设计应考虑如下几个问题：（1）正切函数的性质不都是由图像得到的，如定义域、周期性等. 如果没有定义域、周期性，那就不能画出正切函数的图像. 当然，可以借助技术（如媒体软件的演示）得到图像，但是动画的演示无法使学生的思维深度参与，会使探究教学处于低效. （2）为什么想到先画y=tanx在x∈

，的图像，而不是先画在x∈（0，π）或其他区间的图像呢？不应预设好圈套让学生钻进去，而应当让学生选择，更加自然. （3）人教A版必修第一册教材第209页在本节开始时写道：“根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图像与性质？”但接下来却笔锋一转：“有了前而的知识准备，我们可以换一个的角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图像.”此处的过渡显得莫名其妙而不自然，研究正弦函数、余弦函数的经验究竟是什么呢？为什么要让学生舍弃最近发展区而另起炉灶呢？

三角函数的图像与性质是以必修一教材学习的“指数函数、对数函数、幂函数等”研究经验为经验，此前已研究了正弦函数、余弦函数的图像与性质，这两种函数的图像与性质的研究方法对正切函数的图像与性质的研究有着较强的指导意义. 本节课应通过对正切函数的图像与性质的研究，进一步渗透数形结合思想，从而发展学生的直观素养，从知识上完善三种常见的三角函数的图像与性质，从研究方法上更加系统地领会函数的图像与性质的研究思路，使学生充分感受数学知识的内在联系、和谐之美.

[⇩] 教学设计

通过教材的比较分析，教学可以适当借鉴人教A版的处理方式，但应重新审视“研究了正弦函数、余弦函数的图像与性质”得到的经验是什么. 应当是从定义、诱导公式出发先得到部分性质（如定义域、周期性等），再借助这部分性质和三角函数线作出图像，然后通过图像进一步获得其他性质. 基于学生已有上述的经验和知识，设计“正切函数的图像与性质”的教学，并拟定了以下的教学目标：

（1）会以定义和诱导公式为出发点研究正切函数的部分性质;了解利用正切線画出正切函数图像的方法;能借助观察图像，理解和拓展正切函数的性质;能用正切函数的图像与性质解决有关问题.

（2）经历正切函数的图像与性质的研究过程，培养学生发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力，进一步体会数形结合和类比等数学思想和方法.

（3）经历“问题提出—性质探究—研究图像—拓展和再认识性质—性质应用”数学探究活动，体验数与形的和谐统一，提升欣赏美、发现美的能力，感受数学发现和创造的快乐.

[⇩] 教学过程

1. 创设情境，提出问题

图像法是函数的表示方法之一，函数的图像与性质有着紧密的联系. 我们知道正弦函数、余弦函数和正切函数是三个基本的三角函数，前面我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图像与性质. （展示正弦函数、余弦函数的图像与性质）

提出中心问题：我们能根据研究正弦函数、余弦函数的图像与性质的经验来研究正切函数的图像与性质吗？

2. 重温经验，发展思维

问题1：请同学们回顾一下，我们是如何研究正弦函数的图像与性质的？

学生通过思考讨论得出如下结论：（1）利用“五点法”作出正弦函数的图像，但用“五点法”作图像是在知道了正弦函数的图像与性质的前提下，利用五个关键点画出简图. （2）在探究正弦函数图像的时候，是利用单位圆中的三角函数的正弦线先作出了正弦函数y=sinx在x∈[0，2π]内的图像，再根据正弦函数的定义域和周期性平移这个图像，从而作出完整的图像，再由完整的图像得到性质.

问题2：为了作出正切函数的图像，我们应该怎样来类比正弦函数图像的研究方法呢？

在学生回答的基础上，引导学生理解：在利用单位圆中正弦线作正弦函数图像的过程中，其实含有两个步骤. 第一步，“依性作图”，即由“正弦函数的定义域和周期性”可以考虑只要y=sinx在x∈[0，2π]内的图像;第二步，“由图识性”，作出y=sinx（x∈R）完整的图像，再由图像得到性质.

通过重温“正弦函数的图像”，类比得出探索正切函数的图像与性质的可能思路：第一步，思考正切函数的部分性质（定义域和周期性等），利用单位圆结合性质画出图像，即“依性作图”;第二步，由图像探索新的性质，即“由图识性”. （笔者将这两个步骤写在了黑板上，方便学生进行类比学习）

，k∈Z;（2）正切函数的图像关于原点对称，说明正切函数是奇函数;（3）正切函数的图像每隔一个π有规律地重复出现，说明正切函数是周期函数;根据诱导公式tan（π+x）=tanx可知，π是y=tanx的一个周期.

师：说得很好！其实生4说的这三个性质在画像之前就已经根据正切函数的定义和诱导公式得到了，现在可以根据正切函数的图像直观地再认识，图像还有什么特征呢？谁来补充？

生5：正切函数的图像向上、向下都是无限延伸的，说明正切函数的值域是R;另外，正切函数的图像在每一段都是呈上升趋势的，说明正切函数是单调增函数.

师：能说明正切函数在整个定义域内是单调增函数吗？

生5：不能！

师：为什么？

生5：可以举反例，比如<，但tan>tan，所以只能说在每一段是单调增函数.

师：回答得很好！“每一段”该如何用数学符号语言来表述呢？

生5：可以说区间

-+kπ，+kπ

，k∈Z是正切函数的单调递增区间.

师：很好！请同学们再思考两个问题：（1）正切函数的图像除了关于原点对称，还有其他对称性吗？（2）图4中的虚线与正切曲线有什么关系呢？

生6：正切函数的图像还关于（-π，0），（π，0）对称，还有（2π，0），（3π，0），…，也就是说正切函数的图像关于点（kπ，0），k∈Z对称;正切曲线无限地逼近虚线但不相交.

师：回答得很好！可以说正切曲线是中心对称图形，对称中心为（kπ，0），k∈Z;所有的直线x=+kπ，k∈Z可以称为正切曲线的渐近线.

师：通过图像，我们再次认识到了正切函数的定义域、奇偶性、周期性，同时得到了正切函数的值域、单调性、对称性及渐近线. 下面请大家填写下表（如表1）.

学生填好表格后互评，少数学生所画的图像的重要特征不明显，及时进行纠正，总体完成较好！

4. 尝试应用，形成经验

不同学生的认知水平和思维能力总是存在差异的，为了保证不同层次的学生在夯实基础的前提下都得到相应的发展，笔者编选了两组课内例习题：例1的设计目的是让学生理解、内化正切函数的有关性质，同时类比y=sin（ωx+φ）的性质求法尝试研究y=tan（ωx+φ）的性质，让学生进一步形成类比学习经验;例2及其变式让学生对正切函数的单调性及图像深入理解，培养数形结合和整体思想.

[⇩] 教学活动设计的思考

1. 整合教材让知识自然生成

在新教改的大潮中，作为数学课程的实施者、决策者与创造者的数学教师，迫切需要用新的观念去认真审视和理解教材，立足课标和课程理念，站在学科核心素养的角度，有针对性地对教材内容充分讲解，从新版教材爆发出全新的能量. 《国家基础教育课程改革指导纲要》明确提出了“用教材教”而不是“教教材”的新观念. 教材是为教学服务的，而不是用来束缚、限制教学的. 教师应当广泛研读，比较各种版本的教材，取长补短，合理地加以整合、总结、归类、反思、更新、拓展;从教学的实际出发，灵活地、创造性地使用教材，精心设计教学过程，凸显思维活动的完整流程，使学生真正地深刻理解数学知识和方法的产生过程，由此不断深化思维，提升数学素养. 本节课教学，基于教材的比较，借鉴人教A版，重新审视已有知识和经验，遵循由旧到新的发展原则，通过简要复习正弦函数、余弦函数的内容，提出中心问题：“我们能根据研究正弦函数、余弦函数的图像与性质的经验来研究正切函数的图像与性质吗？”让学生重温正弦函数、余弦函数的图像与性质的研究经验，为学生探究正切函数的图像与性质提供研究思路，即“局部性质—作图像—完善性质”. 这一研究思路，通过教师的引导，学生的参与探索，让正切函数的图像与性质在学生已有知识和研究经验的基础上自然而然地生成，遵循了学生的认知规律，实现了螺旋式上升.

2. 问题引领思考，促进学生思维提升

“学起于思，思源于疑”. 问题是课堂教学过程的灵魂，问题是数学的心脏. 让思维从问题开始，思维活动又形成新的问题，这种递进式的问题引领着学生思考，为学生的发展搭起了支架，指明着探究的方向. 当然，问题要针对学生思维的最近发展区而提出，才能促进学生的发展. 本节课从已有的正弦函数的图像与性质的知识和研究经验出发，通过回顾正弦函数的图像与性质的研究方法，提出中心问题（既是知识内部发展需要，也是学生心理需求）：“我们怎样来类比正弦函数图像的研究方法呢？”让学生自觉地凝练出总的探究思路;基于学生的最近发展区提出问题：“正切函数有哪些性质是可以通过已有知识得到的？是怎样得到的？”使学生联想到正切函数的定义和诱导公式去发现部分性质;进而再提出问题：“有了正切函数y=tanx的这些性质，如何来画它的图像呢？”这为画正切函数的图像进一步指明了方向;为了完善正切函数的性质又出现了新问题：“现在请大家观察正切曲线有哪些主要特征，这些特征刻画了正切函数的哪些性质？”等等. 这些问题环环相扣，不断促进学生的思维深入，引领学生学会探究，实现思维自觉. 真正意义上的教学活动不是向学生提出已知、现成知识的模式开始，而是把知识设计成适当的学习问题，为学生提供一个合适的探索空间，让问题引领学习，使知识始终处于问题情境的脉络中，让学生在解决问题时领悟知识、发展能力、培育情感、学会学习.

3. 微型探究使课堂教学优越有效

探究式教学注重引导学生由问题的探究来发现和建构新知. 探究式教学不仅能激发学生的求知欲、发挥学习的主体作用，还能从学习中获得丰富、集体、牢固的知识，掌握和改进研究的方法，形成大胆质疑、小心求证、实事求是的科学精神和良好的道德品质. 然而，探究式教学的要求较高，学生容易形成盲目和肤浅的思维，影响探究的方向、深度和数学的本质. 而微型的数学探究属于定向探究，就是指学生所进行的各种探究活动是在一系列数学问题的引领下开展的，在问题解决过程中获得有价值的“副产品”——概念（或定理）的抽象形式，從而把握概念（或定理）的实质内涵. 比如本节课中教师通过一系列数学问题及元认知问题引领学生依据定义和诱导公式探究正切函数的定义域、周期性及奇偶性;引领学生探究如何合理选择区间画图，实现从选择[0，π]到

-

，再到0

，的优化;引领学生根据正切曲线的主要特征探究并完善了正切函数的性质. 这样的探究既不失探究的属性，也避免了学生形成盲目和肤浅的思维，从而影响到学习深度和数学本质的揭示. 高中的数学学习总是要经常性地探索一些数学的一般结论，追寻数学的本质，微型的数学探究无疑正是可以实现这一目标的教学方式，也是优越有效的课堂教学的一种重要方式.

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