罗世瑶

[摘  要] 小学生在解决问题的过程中常存在浅思考、少反思的问题，通过数学写作可有效调节小学生的认知加工过程，促进学生深度思考与反思。小学数学写作教学中，首先让学生从“课前思考”到“课中碰撞”，逐步理解数学写作，并在互动交流中将其完善优化;再从“课中引导”到“课后探索”，让学生逐步用好数学写作，激活数学思维;最后基于元认知视角对两个数学写作案例进行探究。数学写作有利于提高学生数学学习的元认知水平，培养学生的问题解决能力，激活学生的创新思维，提升学生的数学素养。

[关键词] 数学写作;元认知;教学实践;案例探究

一、问题的提出

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出，数学教学活动，特别是课堂教学“应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，要注重培养学生良好的数学学习习惯”。但是实际教学中，笔者发现有些学生的数学学习仍停留在浅层，他们常埋首于题海中刷题而没有深度的思考，导致机械学习。同时学生在解决问题过程中的自我分析和自我评估能力较低，常常产生挫折，感到焦虑。因此，笔者尝试通过数学写作帮助学生反思正在学习的内容，有意识地调节自己的认知加工过程。

但是国内数学写作基本都是在初中、高中、大学中才进行，而小学阶段对于数学写作的研究非常少。因此在小学数学写作教学中，教师应给学生铺设写作训练的台阶，让学生逐步理解何为数学写作;给学生创设交流的平台，让学生在互助中完善数学思维，推进数学语言的表达。

二、概念的界定

1. “数学写作”的界定

数学写作是以过程为目标的学习活动，指学生将对数学概念的理解、对解题过程的回顾、对解题方法的提炼、对学习方法的总结、对考试前后的反思等写成文字的一种学习过程。它可以让学生学会有条理地思考并用文字简明清晰地表达思考的过程，对于展现学生思维过程，加强主观认识，促进智力发展有着重要的作用。

2. “元认知”的界定

元认知是由美国心理学家约翰·弗拉维尔（John Hurley Flavell）提出的，指个体对自己认知系统的认知和调控，它包括元认知知识、元认知体验和元认知监控三个要素。其中，元认知知识是个体拥有的关于自己认知能力、认知策略和认知对象的知识，元认知体验是伴随着认知活动的认知体验或情感体验，元认知监控指个体对自己认知系统的协调与监控过程。三者在问题解决的过程中，相互影响、协同作用。

三、教学实践

为了让小学生接触数学写作，理解何为数学写作，能够在数学学习中逐步融入数学写作，笔者将解释性数学写作融入日常课堂教学中，让学生利用解释性数学写作对新授内容进行自主探索及延伸拓展。

1. 从“课前思考”到“课中碰撞”

首先，从简单阐述个人的解题思路入手，接触数学写作。例如，在解决问题类型的课前，先给学生出示题目，让学生自主探索，尝试通过文字形式清晰地表述个人的解题思路。其次，从同伴的分享交流入手，理解数学写作，善用数学写作。比如课中小组之间利用数学写作进行沟通交流，分享自己的想法，在聆听他人与表达自我的过程中得到启发，初步修正及优化数学写作。最后，从拍摄“学生微视频”入手，活用数学写作。比如教师在课前选取个别较优秀的数学写作，录制微视频，起示范作用，让其他学生进一步完善与优化。从课前到课中逐步融入数学写作，让小学生更容易开展数学写作。教學操作如图1所示。

2. 从“课中引导”到“课后探索”

从教师引导入手，帮助学生进一步理解数学写作，搭建写作框架。例如，学生对新授内容已吸收、理解后，教师引导学生通过数学写作对重难点知识进行延伸和拓展。基于重难点知识，通过生生与师生之间的互动交流，初步设计数学写作方案。从自主探索入手，用好数学写作，激活数学思维。例如，学生在课后对重难点知识深入探索拓展，或通过实践操作来体验感悟，或通过解题组练习来巩固提升，或通过梳理总结来回顾反思，等等，然后将自身的体悟、思考、反思等通过文字表述出来，进一步内化数学知识和方法，延伸课外内容。从课中到课后，于拓展延伸中逐步融入数学写作，让小学生更灵活地开展数学写作。教学操作如图2所示。

四、案例探究

以下是笔者数学写作研究中的两个教学案例，拟基于元认知理论展开探究。

案例1：在人教版四年级上册数学广角“合理安排时间”一课中，笔者让学生分享课前自己写的数学写作。

题目：老师每天早上去学校前需要完成以下几件事：起床穿衣4分钟，整理被子2分钟，刷牙洗脸6分钟，蒸馒头10分钟，吃早餐6分钟，骑自行车到学校10分钟。老师昨天早上7：30起床，起晚了。但学校规定，早上8：00之前（包括8时）必须到校，否则就迟到了。老师能在规定时间内赶到学校吗？请同学们帮助老师合理安排一下。

A学生的想法：我思考的是如何能节省时间，想到有些事情可以同时做。一般情况下，每件事如果按顺序做，如表1所示，一共需要4+2+6+10+6+10=38（分钟）。

但蒸馒头和骑自行车到学校的时候，可以同时干别的事情。我的方案是：先起床穿衣，然后蒸馒头时整理被子及刷牙洗脸，最后骑自行车到学校，此时同时吃早餐，这样就只需要花24分钟，如表2所示，比之前节省了14分钟。

类似能节省时间的事情还有煮饭时炒菜、休息时听故事、坐车时看风景、做作业时听音乐。

A学生分享了上述数学写作后，笔者引导学生进行生生之间的“辩”：你同意A同学的想法吗？为什么？有无需要改进的地方？通过生生之“辩”，引发学生的思维碰撞，如B学生表示他设计的方案与A学生有些不同，笔者让B学生展示他的数学写作并借此进行全班讨论交流。

B学生的想法：我先起床穿衣，然后蒸馒头，在蒸馒头的同时整理被子及刷牙洗脸，然后吃早餐，最后骑自行车到学校，这样需要30分钟完成所有事情（见图3）。

笔者首先表扬了两位学生的数学写作：思路清晰，而且通过表格或流程图来表达，简洁明了。接着，笔者问道：“你觉得哪种方案更好？在哪里节省了时间？”全班学生进行讨论辨析，大部分学生觉得A同学的方案不合理，吃早餐和骑自行车不能同时进行，所以B同学的设计方案更合理。通过生生之间的“辩”，让学生在思维的碰撞中明白：在安排事情时，要考虑先后顺序，将能同时做的事情安排在一起，并且还要合理。

案例分析：案例中笔者并不直接讲授上述问题，而是在课前通过数学写作让学生独立设计方案，给予学生开放性的探究，为课中的交流、研讨积累感性材料。数学写作之后，课中学生尽情交流，阐述观点，明确哪些事情要先做，哪些事情可以同时做，让学生自主地从众多策略中探寻出最优策略。A学生的数学写作不仅对比了两种方案进行择优，还将这类问题类推到其他情境上，展示了他的元认知知识水平，特别是关于认知主体和认知策略方面的知识。此外，在B学生分享及全班讨论的过程中充满了元认知监控，明确不同方案的优劣之处，并能结合现实情况做出判断。

案例2：在人教版四年级上册“公顷”一课后，笔者让学生课后探究“1公顷有多大”，并完成一篇数学写作。

题目：1公顷有多大。

C学生的写作：“公顷”是一个不常用的面积单位，因此我一遇到它，就会做错，所以我决定进行研究，看看1公顷到底有多大。

我先查阅了数学书，书上说“边长是100米的正方形，面积就是1公顷”，可是我们家没有那么长的尺子，我想起了老师说过我们身上就有尺子，于是我在地上先量出了一个1米的长度，再反复走三四次，发现我走两步的长度大约就是1米。100米就有100个两步，2×100=200（步），所以只要我在操场上走200步大约就是100米。

我跑到了小区里最大的操场上开展研究。我先沿着操场中足球比赛场地的白线走，没想到只走了大约100步就到头了。100÷2=50（米），距离100米还差得老远呢。我思索了一下，决定沿着操场最外边的边沿走。这一次，我沿着长边走了大约160步，160÷2=80（米）;沿着短边走了大约100步，100÷2=50（米），80×50=4000（平方米），1公顷=10000平方米。原来这么大的操场连1公顷的一半都不到，只能用“平方米”作单位。

这时妈妈问我：“那1公顷有多少个操场呢？”我立刻在做记录的本子上列式计算：10000÷4000=2.5（个）。原来1公顷差不多等于两个半这么大的操场，1公顷真是太大了！

那什么地方的面积才能用“公顷”作单位呢？我突然想到，这个操场只是我们小区里面的一个角落，那我们的小区一定可以用“公顷”作单位。为了验证我的想法，我和妈妈向小区的管理处咨询，原来我们小区的占地面积是86000平方米，就是8.6公顷，看来我的想法是正确的。

我又想：那么公园能不能用“公顷”作单位呢？门口的海印公园，它非常小，几分钟就能跑一圈，和我们的操场面积差不多大，肯定不能用“公顷”作单位;但是东湖公园走一圈要花很多时间、海珠湿地公园走一圈腿都酸了，一定可以用“公顷”作单位，所以必须是大型公园才可以用“公顷”作单位。

通过今天的研究，我知道“公顷”是一个非常大的面积单位，我还知道操场和篮球场不能用“公顷”作单位，而且1公顷的面积不仅可以是正方形的，也可以是长方形或者其他形状的，还可以是不规则图形的。

案例分析：以上的数学写作是C学生在自行探究前提下完成的。在探究的过程中，C学生首先正确认识和理解概念的含义，同时主动联系旧知;其次，结合新旧知识通过实践操作、计算推理建立起1公顷的表象;最后，对面积单位“公顷”进行应用，进一步巩固对1公顷的认识。正如苏霍姆林斯基所言，“教学就是教给学生借助自己已有的知识去获取新知识的能力”。这样的数学写作不仅能培养学生的数学思维，还能帮助学生探寻知识本质，同時让学生不限于课堂的方法，培养学生灵活运用多种解决问题策略的意识和能力。数学问题的解决是一种认知活动，学生在解决问题后，无论是成功还是失败，都会产生情感体验。C学生的数学写作说明了他有了浓厚的数学学习兴趣。特别是，数学写作是一种用个体文字表达数学学习过程的活动，以文字语言作为重要媒介，而语言表达本身就是大脑自我监控的过程，因此数学写作能锻炼学生文字语言表达的能力。

五、教学启示

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出了10个核心素养，其中包括数据分析观念、推理能力、应用意识和创新意识等，在数学写作的培养下，均能使这几个数学核心素养得以更好地发展。从元认知视角探究数学写作可知，数学写作有利于提高学生数学学习的元认知水平。虽然数学写作相对有些耗时，但能从意识上使学生主动进行数学知识建构，能让学生主动分析、比较，并进行深入思考，进一步理解数学概念、活动经验和思想方法。其次，数学写作能让教师和其他学生了解作者对问题是如何理解的，同时让作者开始享受数学思维带来的乐趣，从而强化学生的元认知体验及元认知监控。