2-范数线性空间的严格凸与一致凸性

2021-03-14李珊珊崔云安

哈尔滨理工大学学报 2021年6期

关键词：定义

李珊珊崔云安

摘要：2-范数线性空间是赋范线性空间的推广，它定义了更为广泛地范数。首先证明了2-范数线性空间中的压缩映像原理是成立的，以及严格凸的2-范数线性空间中的非扩张映射的不动点集是凸集;得到了有限维严格凸的2-范数线性空间是一致凸的，并证明了由向量积诱导的2-范数线性空间是一致凸的。

关键词：2-范数线性空间;压缩映像原理;不动点;严格凸;一致凸

DOI：10.15938/j.jhust.2021.06.021

中图分类号： O177.3

文献標志码： A

文章编号： 1007-2683（2021）06-0153-04

Strict Convexity and Uniform Convexity in Linear 2-normed Spaces

LI Shan-shan， CUI Yun-an

（School of Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：Linear 2-normed space is a generalization of linear normed space， which defines a more extensive norm. In this paper， we get contraction mapping theorem in linear 2-normed space holds， and the set of fixed points for nonexpansive mapping is convex when linear 2-normed space is strictly convex. We obtain that the strictly convex linear 2-normed space with finite dimension is uniformly convex. Thus we get the corollary that the linear 2-normed space induced by the vector product is uniformly convex.

Keywords：linear 2-normed space; contraction mapping theorem; fixed point; strict convexity; uniform convexity

0 引言

1965年，盖勒（Gahler）引入了2-范数线性空间，这是赋范线性空间的推广，从那时起，许多学者就对其进行了深入地研究和探讨。1974年Charles Diminnie，Siegfried Gahler和Albert White给出了2-范数线性空间严格凸的定义，并给出了2-范数线性空间严格凸的4个充要条件。本文验证了2-范数线性空间中的压缩映像原理是成立的，以及严格凸的2-范数线性空间中的非扩张映射的不动点集是凸集;讨论了有限维严格凸的2-范数线性空间的一致凸性，证明了由向量积定义的2-范数空间是一致凸的。

1 预备知识

定义1[1] 设X是一个维数大于1的线性空间，称‖·，·‖：X×X→R+为2-范数，如果满足以下条件：

①‖x，y‖=0x，y是线性相关的（x，y∈X）;

②‖x，y‖=‖y，x‖（x，y∈X）;

③‖αx，y‖=|α|‖x，y‖（x，y∈X，α∈R）;

④‖x+y，z‖≤‖x，z‖+‖y，z‖（x，y，z∈X），

此时称（X×X，‖·，·‖）为一个2-范数线性空间。

定义2[2] 称{xn}X收敛于x∈X是指

limn→SymboleB@‖xn-x，y‖=0 （y∈X）。

定义3[3] 称2-范数线性空间（X×X，‖·，·‖）是严格凸的，若任意的x，y∈X，zV（x，y），

‖x，z‖=‖y，z‖=x+y2，z=1，有x=y。

定义4[4] 称2-范数线性空间（X×X，‖·，·‖）是一致凸的，若{xn}X，{yn}X，z≠0∈X，使得‖xn，z‖→1，‖yn，z‖→1，zV（xn，yn），xn+yn2，z→1，有‖xn-yn，z‖→0。