孙丽萍 张秋阳 刘文德

摘 要：Cartan型模李超代数的分类是解决素特征域上单李超代数分类问题的关键。识别定理为素特征域上李代数分类问题的解决奠定了基础。仿照识别定理中对于Cartan型模李代数伴随模的理论，研究了Cartan型模李超代数W（n）的伴随模。通过对W（n）的 2-阶化分支的直和分解，得到了两类伴随模，进而给出了这两类伴随模之间的关系，并证明了它们的不可约性。

关键词：Cartan型李超代数;伴随模;子模;不可约

DOI：10.15938/j.jhust.2021.06.020

中图分类号： O152.5

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2021）06-0149-04

Adjoint Modules of Cartan Type Modular Lie Superalgebras W（n）

SUN Li-ping1， ZHANG Qiu-yang1， LIU Wen-de2

（1.School of Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China;

2.School of Mathematics and Statistics， Hainan Normal University， Haikou 571158， China）

Abstract：The classification of Cartan type modular Lie superalgebras is the key of the classification of Lie superalgebras over a fields of prime characteristic. The Recognition Theorem established foundation for the classification of Lie algebras over a fields of prime characteristic. According to the theories on adjoint modules of Cartan type modular Lie algebras in Recognition Theorem， we study the adjoint modules of Cartan type modular Lie superalgebras W（n）. By virtue of the direct sum decomposition of the2-graded components in W（n）， we obtain two types of adjoint module， analyse the relationship between them， and prove their irreducibilities.

Keywords：Cartan type Lie superalgebra; adjoint module; submodule; irreducibility

0 引 言

对于特征零域上的李超代数（称为非模李超代数），有限维单李超代数的分类工作和向量场线性紧致单李超代数的分类及结构研究已经完成[1-3]。对于素特征域上的李超代数（称为模李超代数），由于受到基域的限制，至今单李超代数的分类工作仍是一个开放问题[4-5]。研究表明，模与非模李超代数的区别主要在Cartan型李超代数上，所以此类问题研究受到关注，如文[6-10]。本文将模李代数识别定理（见文[11]）中对于Cartan型李代数W（n）的伴随模的相关结论推广到模李超代数中，以期對于研究Cartan型模李超代数的极大子代数等结构有所帮助，参见文[12-13]。

1 预备知识

本文设域F的特征p>3，2={1-，0-}为模2剩余类环。本文中所有子空间、子代数和子模都是2-阶化和-阶化的，|x|和degx分别表示齐次元素x的2-次数和-次数。

设Λ（n）是F上由n个变元x1，x2，…，xn生成的外代数，并有自然的2-阶化结构：

Λ（n）k-=spanF{xi1…xir|1≤i1≤，…，≤ir≤n}， 当r为偶数时，k=0，当r为奇数时，k=1。令

B（n）：={〈i1，…，ik〉|0≤k≤n}，

对于u：=〈i1，i2，…，ik〉∈B（n），记

xu：=xi1xi2…xik，x=1，‖u‖=k。

令degxi=1，则degxu=‖u‖，得到外代数Λ（n）的一个自然-阶化结构：Λ（n）=nl=0Λl（n）， 其中

Λl（n）=spanF{xu|‖u‖=l}。

设i为外代数Λ（n）的超导子，使得i（xj）=δij，易见|i|=1-，degi=-1，i=1，2，…，n。……