杨新松 刁鑫

摘 要：利用组合群论的方法寻找本原元的性质，通过对不同Jordan标准形的讨论和对幂单矩阵性质的分析，并利用计算机软件进行辅助计算，找到可以使二元生成自由群在线性表示维数是9时成为幂单群的条件。对幂单性的已有结论进行了推广。

关键词：本原元;幂单性;自由群;线性表示

DOI：10.15938/j.jhust.2021.06.019

中图分类号： O153.3

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2021）06-0138-11

The Unipotency of the Free Group with Linear

Representation of Dimension 9

YANG Xin-song， DIAO Xin

（School of Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080）

Abstract：By using the method of combinatorial group theory， the properties of primitives are found. By discussing different Jordan canonical forms and analyzing the properties of unipotent matrices， and by using computer software， the conditions that binary generated free groups which linear representation dimension are nine can be proved unipotent groups are found. The existing conclusions have been promoted.

Keywords：primitive element; unipotency; free groups;linear representation

0 引 言

群表示理论更是近年来代数学中发展迅速且相当活跃的数学分支之一，可以说群论已经发展为当代代数学的主流研究方向。十八世纪初法国著名数学家伽罗瓦首次提出群论，并提出了群的同构、正规子群以及置换群同构等概念，1832年，伽罗瓦证明出一元n次代数方程可用根式求解是由伽罗瓦群的“可解性”决定的[1]，由此正式引入群论。Тавгень О И與Самсонов 利用生成元的组合性质[2]，研究并得到了二元生成自由群为幂单群的另一等价条件（令G为数域F上的二元生成自由群，群同态是ρ：G→Cn×n，当且仅当ρ使得本原元的像均为幂单阵时，G为幂单群）。从此幂单群判定开始了逐步探索。幂单性及与之密切相关的幂零性质，可解性质的研究得到了很多好的结论，例如有限交换幺幂群格式，任意域上光滑幺幂代数群本质维数等[3-10]。本文主要讨论了二元生成9阶矩阵群在本原元最高阶若当块不高于4阶时某种特定情况下（某生成元的若当标准型是diag（J4，E5））的幂单性。本文将证明这类矩阵群是幂单的。这在9阶幂单矩阵群的研

究中是最新结论。此前，从若当块最大阶数9到6都有了结论。……