黄述亮

(滁州学院 数学与金融学院，安徽 滁州 239001)

矩阵的秩在很多领域中具有重要的理论意义和实际应用价值，比如在通信复杂性领域中，函数的通信矩阵的秩可以给出计算函数所需的通信量的界限。此外，利用矩阵的秩可以定义数学中的等价关系，因此一个数域F上的全体n阶矩阵Mn(F)可以被划分成n+1个子集(即等价类)的不交并M(F)=T0∪T1∪…∪Tn，其中Ti={A∈Mn(F)|rank(A)=i}。换言之，矩阵的秩可以实现对全体矩阵的分类，这对进一步研究矩阵有着重要的意义。

事实上，秩的不等式是研究矩阵问题的有力工具，比如经典的Sylvester不等式就给出了矩阵乘积的秩的上界和下界的一个很好的估计。目前已有不少学者对矩阵秩的不等式进行了深入研究[1-4]，文献中不少证明涉及到了代数学中线性空间的维数、线性映射的值域和核等理论，获得了一些深刻的结果。总体而言，处理这类问题时常常要综合运用行(列)向量组、基础解系的求法和性质、矩阵分块及广义初等变换的技巧等，本文重点讨论矩阵秩的几个重要的不等式及其在相关证明中的应用。

1 矩阵秩的主要性质

性质1[5]：设m×n矩阵A的秩为r，则一定有m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q满足

这里，Er表示r阶单位矩阵。

性质2：rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)}。

类似地，对于矩阵A=(A1,A2,…，Am)和AB=(D1,D2,…,Ds)实行列分块，通过计算可以看出Di=b1iA1+b2iA2+…+bmiAm(i=1,2,…,s)蕴含A的列向量组把AB的列向量组表示出来，因而前者的秩不可能超过后者的秩，即rank(AB)≤rank(A)。

性质3：设矩阵Am×m可逆，则有

证明：利用分块矩阵的乘法得

故

同理，当D可逆时有

以上2式统称为分块矩阵秩的降阶公式。……