魏正元，李 乔，王 雪，郑小洋

（重庆理工大学 理学院，重庆 400054）

在险值（value at risk，VaR）和期望损失（expected shortfall，ES）是2种常用且重要的风险度量值，且2个量都是不可直接观测的，VaR直观、简单，ES属一致性风险度量，故而关于这2个量的研究一直备受学者和市场从业者的关注，相关的著作和文献较多［1－3］。然而ES的积分运算不一定有闭式表达式，因而很有必要研究其近似计算和数值解法。

在未知总体分布情况下，SIMONATO JG［4］应用Johnson分布的前四阶矩计算VaR和ES，GRAZIA Z M等［5］使用Gram Charlier展开对数据进行建模，得出风险度量的封闭形式，Amédée Manesme CO等［6］探讨了校正的Cornish Fisher在风险度量中的应用，Arevalillo JM［7］研究了Saddlepoint反演。本研究将Edgeworth和Saddlepoint引入ES的计算，并与bootstrap的结果进行比较，结果表明Edgeworth和Saddle point在VaR的计算中相差无几，但在计算ES时，Edgeworth展开比Saddlepoint展开简单且具有更高的精确度。

设某个金融头寸在持有期L内的损失变量X的概率分布函数为FX（x）（本文用资产收益率γt刻画风险，空头用X＝γt，多头用X＝－γt），且E［｜X｜］＜∞，给定尾部概率p（0＜p＜1），ES的定义为［6］

这里xq＝F－1X （p）是X的q＝1－p右侧分位数，从风险度量角度是VaR值xq＝VaRp（X）。ES为损失超过VaR值的期望，也就是条件在险值（CVaR）。

1 主要结果

定理1 若损失随机变量X满足Cramer’s①如果sup t→∞ ｜E F（eitX）｜＜1，则X满足Cramer’s条件条件，则式（1）中I（xq）的估计值为

证明 如果连续型随机变量X前4阶矩存在，其q分位数的Cornish Fisher展开和概率密度函数的Edgeworth展开有如下形式［8］

式中

出I（xq）的值，通过Edgeworth展开得到一个不完全gamma函数的解析表达式，使尾部积分的计算得以实现。

定理2 设X1，X2，…，Xn是来自总体F（x）的iid样本，则式（1）中I（xq）的估计值为

证明 若iid样本X1，X2，…，Xn～f（x），记MX（t）＝E［etX］和KX（t）＝log MX（t）为X的矩母函数和累积量生成函数，Tn＝（X1，X2，…，Xn，F）为某标准化的渐近正态统计泛函，记Fn是Tn的分布函数，Mn（t）为Tn的矩母函数，