李春艳 李大刚

摘  要：文章计算带电粒子落入欧拉海森堡黑洞时，视界附近的能量-动量关系，验证通常相空间和扩展相空间情况下黑洞的弱宇宙监督假设。文章发现在通常相空间中，极端黑洞和近极端黑洞的弱宇宙监督假设均有效;另一方面，在扩展相空间中，只有极端黑洞的弱宇宙监督假设有效，而对于近极端黑洞其影响参数比较多，无法证明其弱宇宙监督假设是否有效。

关键词：弱宇宙审查猜想;欧拉海森堡黑洞;通常相空间;扩展相空间;热力学

中图分类号：P145.8                 文献标识码：A文章编号：2096-4706（2021）16-0149-04

The Weak Cosmic Censorship Conjecture of the Euler Heisenberg Black Hole

LI Chunyan， LI Dagang

（China West Normal University， Nanchong  637002， China）

Abstract： This paper calculates the energy-momentum relationship near the event horizon when charged particles fall into the Euler Heisenberg black hole， and verifies the weak cosmic supervision hypothesis of black holes in normal phase space and extended phase space. This paper finds that in the normal phase space， the hypothesis of weak cosmic supervision for extreme black holes and near-extreme black holes is valid; on the other hand， in the extended phase space， only the hypothesis of weak cosmic supervision for extreme black holes is valid， while for near-extreme black holes， there are many influence parameters， and it is impossible to prove whether the hypothesis of weak cosmic supervision is valid.

Keywords： weak cosmic review conjecture; Euler Heisenberg black hole; normal phase space; extended phase space; thermodynamics

0  引  言

眾所周知，快速时间的奇点是在引力坍缩结束时产生的，物质接近时空奇点，所有的物理定律都将被摧毁。为了避免这一现象，彭罗斯提出了弱宇宙审查猜想（WCCC），以保护物理定律不受奇异点的影响。彭罗斯认为奇点应该隐藏在事件视界中，而无穷远处的观察者无法从奇点中找到任何信息。

为了证明这一假设，沃尔德和团队提出了一个思想实验来检验，即带电粒子落到极端的Kerr-Newman黑洞中。实验表明，当考虑一个具有足够电荷的粒子落向极端Kerr-Newman黑洞时，该猜想在一阶扰动下不会被破坏。根据沃尔德的实验，弱宇宙审查猜想的影响已经在不同的时空得到了考验。近年来，此类研究发展到了AdS时空，研究人员仿照沃德实验的基本模型，设计了“试粒子法”用于验证AdS时空中黑洞WCCC的有效性。此时，黑洞质量被解释为热力学焓，同时宇宙常数及其共轭量被认为是压强和体积。最近几年研究人员用这个方法研究了高维RN-AdS黑洞、Kerr-AdS黑洞、tours-like-AdS黑洞等情形。

欧拉-海森堡黑洞，这是爱因斯坦引力的解与欧拉和海森堡在1936年提出的NLED耦合的解，直接从量子电动力学（QED）导出到单环近似。随后，将黑洞解推广到反德西特（AdS）空间[58]中的带电情况。对于欧拉海森堡黑洞的研究，主要集中在黑洞阴影、焦汤膨胀、P-V临界性和热力学方面。本文将通过计算视界附近的能量—动量关系，来讨论欧拉海森堡黑洞在相空间中的WCCC的有效性。

1  欧拉海森堡-AdS黑洞

欧拉海森堡黑洞的度规为：

ds2=-f（r）dt2+f（r）-1dr2+r2（dθ2+sin2θdФ2）         （1）

文献中给出了度规函数：

（2）

a是欧拉海森堡参数，其取值范围在文章中为。这里的宇宙常数Λ与压强P有关，参数M和Q分别对应于黑洞质量和电荷。

（3）

通过解方程h（r）=0，我们可以得到在事件视界r=rk的黑洞质量为：

（4）

具有外事件视界r=rk的霍金温度T为：

（5）

黑洞的熵为：

（6）

在正常的相空间中宇宙常数是固定的，热力学第一定律的形式是：

dM=TdS+φdQ                           （7）

在欧拉海森堡理论中中，为了满足Smarr关系，欧拉海森堡参数也应被视为一个动态量。因此，第一定律在扩展相空间中的形式是：

dM=TdS+PdV+ΦdQ+Ada                  （8）

其中P是压强，V是P的共轭量被解释为体积，A是欧拉海森堡参数α的共轭量，它被定义为：

（9）

（10）

（11）

（12）

2  被吸收粒子的能量动量关系式

在这一节中，因为带电粒子被AdS黑洞吸收，我们希望得到一个其在事件视界附近的能量-动量关系。我们对标量粒子充满了兴趣，因此我们将利用下面的哈密顿-雅可比方程来研究被吸收粒子的动力学：

gμv（Pμ-eAμ）（Pv-eAV）+mρ2=0              （14）

其中Pμ是动量：

Pμ=σμI                                  （15）

其中e是电荷，mρ表示是粒子质量，I是带电粒子的哈密顿作用量。在球对称时空中，运动粒子的哈密顿作用量可以被分离成：

I=-Et+W（r）+Iθ+Lφ                        （16）

其中E和L分别是粒子的能量和角动量，W（r）是径向分量，2维球体被描述为：

（17）

为了求解哈密顿-雅可比方程，我们利用了黑洞的逆度规：

gμv∂μ∂v=-h（r）-1（∂t）2+h（r）（∂t）2+r-2（∂φ）2        （18）

将（16）和（18）替换为（14），我们可以得到：

（19）

对径向方程计算，我们得到径向动量为：

（20）

当一個粒子落入黑洞时，我们将考虑到黑洞的热力学。因此，我们的主要研究是粒子的近视界行为，这里是f（rk）= 0。在事件视界附近，方程（25）将被简化为：

（21）

这里，对于我们选择正号，以确保粒子以正时间方向的流入黑洞。

（22）

3  相空间中的弱宇宙审查猜想

弱宇宙审查猜想指出，在任何真实的物理过程中，时空的奇异点都应该被黑洞的事件视界所隐藏。为了测试它，一种有效的方法是检查当黑洞被带电粒子捕获时，黑洞的事件视界是否稳定。然而，黑洞的视界是由h（r）决定的。因此，检验弱宇宙审查猜想是通过考虑粒子的吸收来检验方程h（r）=0是否有解。假设在欧拉海森堡黑洞的径向坐标rm处，度规函数h（r）具有最小值h（rm）。因此，如果是h（rm）>0，则没有黑洞的视界;如果是h（rm）≤0，则总是有视界。在位置rm，保持弱宇宙审查猜想的条件是：

（23）

（24）

（25）

对于一个极端的黑洞，τ=0，rk和rmin是相等的。对于一个近极端的黑洞，τ是一个小量，rmin处于两个视界之间。

3.1  通常相空间中的弱宇宙审查猜想

在正常的相空间中，宇宙学参数是不变的，黑洞的质量特征是M和电荷Q。质量M被解释为热力学系统的内能。当一个粒子被黑洞吸收时，我们假设能量和电荷是守恒的。因此，黑洞的内能和电荷的变化是：

E=dm，e=dQ                            （26）

在这种情况下，等式（20）可以写为：

（27）

当黑洞吸收了一个带电粒子时，事件视界的位置将会改变。我们将事件视界的最后一个状态标记为rk+drk，同时也满足h（rk+drk）=h（rk）=0。根据h（rk+drk）=h（rk）=0，可以得到：

（28）

将式（2）和（4）进入等式（12），我们发现dM和dQ都消失了。我们得到drk，可以表示为：

（29）

此外，基于等式（6），我们可以获得dSk，即

（30）

对比等式（5）和（30），我们得到。

TdS=Prk                                       （31）

在通常相空间中，欧拉海森堡黑洞的状态参量为质量M和电荷Q。当带电粒子被黑洞吸收时，黑洞的状态参量将变为M+dM和Q+dQ。同时，事件视界rk和径向坐标rmin也将变为rk+drk和rmin+drmin。请注意，极值点在rk+drk和rmin+drmin之间时，等式（24）是满足的：

（32）

当r=rmin+drmin时，函数h（r）可以重写为：

（33）

我们发现对于一个极端的黑洞，h（r）min=τ=0，等式（24）也适用。将等式（2）和（27）进入等式（33），我们可以得到，

（34）

在等式（34）中，rmin不为0，而极端黑洞的温度等于零。所以，结合了等式（31）与等式（34），我们有

h（rmin）+dh（rmin）=0                    （35）

由等式（35），我们知道h（rmin）+dh（rmin）的值等于零。也就是说，黑洞在捕获一个带电粒子时有一个视界，这意味着极端欧拉海森堡AdS黑洞的构型没有被改变，黑洞的最后状态仍然是一个极端的黑洞。WCCC对正常相空间中的黑洞有效。

对于一个接近极端的黑洞，等式（24）是不满足的，因为rk和rmin不相等。只有当满足条件rk=rmin+τ时，我们才能在rmin处展开等式（24）。这时有，

（36）

将等式（2）和（35）进入等式（33），我们可以得到，

（37）

在等式中（37），τ是一个极小的量，因此O[τ]2可以忽略。同时，我们发现第一项与第二项都是负的。在这种情况下，等式（37）为负值，即吸收一个电子后，近极端黑洞有两个黑洞视界，与吸收前一致。因此，在正常的相空间中，我们可以看到弱宇宙审查猜想也适用于近极端欧拉海森堡黑洞，WCCC在正常相空间中有效。

3.2  扩展相空间中的弱宇宙审查猜想

在扩展相空间中，质量M被看作是热力学系统的焓H，而不是热力学能U。热力学能与焓的关系是，

M=U+PV                                     （38）

在这种情况下，能量和电荷的变换是，

E=du=d（M-PV），e=dQ                       （39）

等式中能量与动量的关系（27）应显示为，

（40）

为了得到扩展相空间中的热力学第一定律，我们需要得到dSk和dV。從等式（6）和（11），我们有，

（41）

（42）

现在，我们想获得dSk，dV的最后一个结果。在扩展相空间中，欧拉海森堡黑洞的状态参数为M、Q、l、a，当带电粒子进入黑洞时，状态参数将随着M+dM、Q+dQ、l+dl、a+da而变化。同时，事件视界也会随着rk+drk发生变化。基于h（rk+drk）=h（rk）=0的事实，可以得到：

（43）

组合等式（2）和（40，43），可以得到：

（44）

将等式（44）带入等式（39）和（41），可以得到：

（45）

（46）

结合等式（5，6，7，9，12）和等式（40，45），可得：

TdS-PdV+Ada=prk                       （47）

接下来，我们将进一步检查欧拉海森堡AdS黑洞的弱宇宙审查猜想。同样地，当一个粒子进入黑洞时，黑洞参数的质量、电荷和AdS半径、和欧拉海森堡参数将改变为（M+dM、Q+dQ、l+dl、a+da）的函数。并且，事件视界的位置、最小值和AdS半径将变为（rk+drk，rm+drm，l+dl）。相应地，函数h（r）的位移可以表示为：

dhmin=h（rmin+drmin）-hmin                  （48）

（49）

对于极值黑洞，hmin=0位置rmin完全等于事件视界r+的值。因此，该关系（24）仍然有效。在插入等式后（24）进入等式（45），可得：

（50）

将等式（47）带入（50），可得：

dhmin=0，dhmin+hmin=0                       （51）

这意味着对极值黑洞的弱宇宙审查猜想在扩展的相空间中仍然有效。这个结果与在正常相空间中发现的结果一致。

对于近极值黑洞，位置rmin不再等于事件视界rh，这导致该条件（24）不可用。然而，我们注意到rm，rh非常接近近极值黑洞。因此，以类似的方式，通过使关系（24）可以在最小点附近展开得到，

（52）

因为这个方程是由许多参数决定的，当这些值是不确定的时候，我们不确定这个方程的值。不同的参数会产生不同的结果因此，WCCC不能准确地确定。

4  结  论

本文研究了通常相空间和扩展相空间中的WCCC。我们主要研究了决定视界位置的函数h（r）的最小值是如何移动的。在通常的相空间中，我们发现函数h（r）是不和谐的，并分别向下移动，这表明WCCC对于一个欧拉海森堡AdS黑洞是有效的。在扩展的相空间中，我们发现当一个粒子落入一个极端欧拉海森堡AdS黑洞时，这个极端的黑洞不会发生变化。在这种情况下，WCCC有效。对于一个近极端欧拉海森堡AdS黑洞，WCCC在扩展相空间中是未知的。我们发现函数h（r）min是由许多参数决定的，不同的参数有不同的结果。

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作者简介：李春艳（1996.08—），女，汉族，四川广安人，硕士研究生在读，研究方向：理论物理。