王 文 陈亚平

(1.合肥师范学院数学与统计学院，中学数学教学编辑部 230601；2.安徽省合肥市南门小学上城国际分校 230061)

三角形ABC中，R,r分别为外接圆半径和内切圆半径，匡继昌在文[1,P262.173]收录了尹华炎和张小明的一个结果如下:

但没有下界估计，我们得到如下一个极为对称的上下界估计.

定理在三角形ABC中，R,r分别为外接圆半径和内切圆半径，则有

等号成立当且仅当三角形为等边三角形.

(2)此不等式也可看成Euler不等式的一个隔离.

证明由积化和差公式和正弦定理可得

(1)

应用算术几何平均不等式

由Cauchy不等式

及公式a+b+c=2p，abc=4Rrp，

(2)

并应用文献[1,P240, 11]中

则

(3)

从证明过程中每个不等号成立的条件可知等号成立当且仅当三角形是等边三角形.

下面证明左端成立.

由式(1)应用算数几何平均不等式可得

(4)

所以

(5)

从证明过程中每个不等号成立的条件可知等号成立当且仅当三角形是等边三角形.再由(3)和(5)即得结论成立.