王弟成

(江苏省苏州实验中学 215011)

1 困惑

在解析几何问题求解中多次遇到韦达定理不好用的问题，主要是两根之和用不上，求解过程中会出现形如2x1-3x2不对称结构形式．面对这样结构如何解决？又为什么会出现这种情况呢？遇到问题解决问题，是提升学生核心素养的最好契机，本文对此进行探究．

(1)若QF=2FP，求直线l的方程；

(2)设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2．是否存在常数λ，使得k1=λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

解(1)略.(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，

得(4+3m2)y2+6my-9=0，

x1=my1+1，x2=my2+1，所以

证明设直线l方程为y=k(x-4)，

点P(x1,y1)，Q(x2,y2)．

得(1+4k2)x2-32k2x+64k2-4=0，

则点S的横坐标满足方程

代入y1=k(x1-4)，y2=k(x2-4)，得

分子出现-4x1+2x2，分母出现-2x1-4x2，

2 探求

2.1 化为变量k

两题的本质是相同的，结构相似，以案例2为例进行探究．

2.2 化积为和

所以点S在定直线x=1上．

2.3 消常数

即8=5(x1+x2)-2x1x2．所以

3 追因

这样探寻到解决此类问题的多种方法，找到造成根与系数关系不能用的原因．在解决此类问题时结合椭圆性质，用同一个顶点(相同点)表示相关直线的斜率，自然出现根与系数关系正适合情况．案例1亦可用上述方法解决．

4 拓展

3.如图，过点E(4,0)的直线l与圆C:x2+y2=4交于P，Q两点，圆C与x轴交于A，B，连结AP，BQ，AP，BQ交于点S，求证：点S在一条定直线上．