马鹏 杨立敏 陈文 于静

【摘要】双曲函数有非常广泛的应用， 本文将从双曲函数恒等式出发， 利用互导函数的性质给出一些新的求解双曲有理函数的积分方法.

【关键词】双曲函数;积分

【基金项目】新疆维吾尔自治区本科教育教学研究和改革项目（JG2019023）和新疆维吾尔自治区《石油类高校以培养高层次应用型人才为目标的数学公共课程教学的实践与探索》项目（2017JG095）

一、引 言

双曲函数的起源是悬链线， 首先提出悬链线形状问题的人是达·芬奇.他在绘制《抱银貂的女人》时曾仔细思索女人脖子上的黑色项链的形状， 遗憾的是他没有得到答案就去世了. 时隔170 多年，约翰·伯努利却解出了正确答案， 同一时期的莱布尼茨也正确地给出了悬链线的方程. 他们的方法都是利用微积分， 根据物理规律给出悬链线的二次微分方程，然后再求解. 18世纪， 约翰·兰伯特开始研究这个函数， 首次将双曲函数引入三角学. 19世纪中后期， 奥古斯都·德·摩根将圆三角学扩展到了双曲线， 威廉·克利福德则使用双曲角参数化单位双曲线. 至此， 双曲函数在数学上已经占有了举足轻重的地位. 19世纪，复变函数开始了全面发展， 伴随着欧拉公式的诞生， 双曲函数与三角函数这两类看起来截然不同的函数获得了前所未有的统一[2]. 双曲函数有非常广泛的应用， 在描述弹性固体中波的运动， 散热片中的温度分布等问题时都可以用到双曲函数， 反双曲函数在积分学中也有很多……