李亚玲 张新巍

【摘要】简单的空间几何体可以通过绘制图形计算立体体积.但是，对空间想象能力一般或者没有绘图基础的学生来说，借助绘图计算边界曲面较为复杂的空间立体体积就不容易了.本文探讨了不借助绘制三维立体图，而是从立体边界曲面的方程出发利用二重积分计算一般空间立体的体积的一般方法.文中给出了通过方程运用二重积分计算立体体积的三个步骤，并采用方法与例题相结合的形式，针对由方程确定投影区域的四个不同情形，较为全面地讨论了计算空间立体体积的一般方法，同时也解决了三重积分计算中积分区域的表示问题.

【关键词】投影区域;边界曲面方程;空间立体体积;二重积分

一、引言

无论在基础科学的研究，还是工程技术的应用以及生产生活的方方面面中，我们都需要计算各种空间立体的体积.计算空间立体的体积是一种常见问题.中学数学已经给出了很多规则几何体的体积计算公式，如长方体、球体、圆锥、圆台、圆柱等.通过定积分可以计算绕直线旋转的旋转体体积以及截面面积已知的立体体积.很多文献对相关问题也进行了深入的探讨.如参考文献[4]针对同一个立体图形在绘制出其空间图形的基础上讨论了多种计算空间立体体积的方法.绘制出空间几何体，我们就很容易利用二重积分或者三重积分计算出体积了.但是更多的空间立体无法绘制出其几何形体，尤其是多张曲面所包围的立体，这给我们求空间立体体积带来了很大困扰.参考文献[5]就曲面方程中只含一个z以及含两个z（不含z=0）的情形给出了不绘制图形的情况下利用二重积分求空间立体体积的方法，但没有给出求立体体积的一般方法.

本文从空间立体的边界曲面方程出发，通过对曲面方程进行分类确定立体的顶底面以及立体的侧面，着重分析了根据方程确定立体在坐标面上投影区域（以xOy面为例）的一般方法，然后在投影区域上确定顶面和底面，进而不借助空间图形就可以利用二重积分计算一般空间立体的体积了.这不仅仅提供了计算空间立体体积的一般方法，为计算空间立体体积带来了极大便利，同时可以用相同的方法表示出空间区域，解决了复杂积分域下利用坐标面投影法计算三重积分积分限的确定问题，三重积分积分限的确定也是困扰很多人尤其是初学者的一个难题.

二、问题分析

由二重积分的几何意义可知，如果z=f（x，y），（x，y）∈D是定义在xOy面上区域D内的连续函数，并且z=f（x，y）≥0，则Df（x，y）dxdy表示以区域D为底，以z=f（x，y）为顶，以区域D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面为侧面的曲顶柱体的体积.其中，积分区域D就是空间立体在坐标面上的投影区域.若要计算一个顶为z2（x，y），底为z1（x，y），侧面是以区域D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面的空间立体体积，可以将该立体看作是两个以区域D为底的曲顶柱体的体积之差，积分区域D就是空间立体在坐标面上的投影区域.那么，通过以 D为积分区域的二重积分

V=Dz2（x，y）dxdy-Dz1（x，y）dxdy

=D（z2（x，y）-z1（x，y））dxdy（1）

就可以计算该空间立体的体积.

显然，对于一般的空间立体，只要将其看作是多个曲顶柱体的并或者差，就可以利用二重积分的和或者差得出该立体的体积.

利用二重积分计算空间立体体积的关键是确定积分区域和被积函数.积分区域就是立体向坐标面的投影区域，被积函数就由立体的顶面和底面方程确定.如果能画出该空间立体的图形，直观上就可以确定该空间立体的投影区域以及底面和顶面，但是多数情况下空间立体的图形很难画出来，甚至也无法想象出，更无法确定其投影区域以及顶底，这给我们计算空间立体体积带来很大难度.

已知围成该立体的边界曲面方程，如何不借助空间立体图形求出立体体积呢？首先找到空间立体的底面、顶面和侧面，然后确定立体在坐标面上的投影区域（也就是积分区域）以及被积函数，进而利用二重积分求出空间立体的体积.其中，投影区域的确定是难点.投影区域一定为顶底曲面投影区域的公共部分，在该公共区域中考虑立体侧面对投影区域的限制，也就是曲面相交的交线以及立体的侧面（柱面）在坐标面上的投影，就可以找到立体的投影区域.确定被积函数时，只需在投影区域上确定分布在该区域上的曲面哪个是顶面，哪个是底面即可.

下面以投影区域在xOy面上的空间立体为例，给出不借助空间立体图形而是通过立体的边界曲面方程计算空间立体体积的一般方法.

三、计算空间立体体积的一般方法

第一步，对曲面方程分类并初步确定空间立体的顶底面和侧面.

把含z的方程写成显函数z=z（x，y）的形式，其中含z的方程分為一类，不含z的方程分为一类.

根据曲面方程的特征，不含z的方程表示母线平行于z轴的柱面，所以这类曲面为空间立体的侧面.含z的方程表示定义域为xOy面上的区域的曲面，因此这类曲面为空间立体的底面或者顶面，含z的方程的个数大于2时该立体为多顶或者多底的空间立体.

第二步，确定投影区域D.

立体的投影区域一定包含在顶底面投影区域的交集中.因此，首先确定顶面和底面本身的投影区域，也就是顶面和底面的曲面方程定义域（x，y的取值范围）.然后在顶底面的投影区域范围内确定立体的投影区域.

立体的侧面限制了x，y的取值范围，由此也就确定了立体的投影区域.因此，通过母线平行于z轴的柱面以及底面和顶面的交线在xOy面的投影曲线就可以确定立体的投影区域.若柱面包围的区域落在顶底的交线之内，则投影区域为柱面的投影曲线所包围的区域;若柱面包围的区域落在顶底的交线之外，投影区域仍为柱面的投影曲线所包围的区域，但需以顶底交线的投影曲线为界将投影区域分成两部分，对应将立体分为两个立体，重新确定顶、底，再来计算;若顶底交线的投影曲线与柱面的投影曲线相交，则投影区域为两类曲线所围成的公共的区域.

我们在复杂情况下，常常结合投影区域的平面图确定投影区域.首先画出底和顶曲面的投影区域，然后在这个区域内画出底和顶交线的投影曲线以及母线平行于z轴的柱面的投影曲线，根据以上原则以及具体题目的要求很容易就可以得到投影区域了.

第三步，在投影区域D上确定立体的顶面和底面，并利用二重积分计算立体体积.

若只有两个含z的曲面方程，则在投影区域D上比较含z方程的z值大小，z值大的曲面为顶，z值小的曲面为底，根据式（1）在投影区域上进行二重积分就可求得立体体积.如果在投影区域的范围内既有z2≥z1的部分，也有z1≥z2的部分，则利用两个曲面的交线的投影曲线z2=z1将投影区域D分成两部分，分别确定投影区域这两部分上的底面和顶面，并根据式（1）求出对应两个立体的体积再相加即可.

若有兩个以上含z的曲面方程，则该立体是多顶或者多底的情形，立体投影区域依然按照第二步中的方法确定，但顶底两两相交，一定会有交线的投影曲线将立体的投影区域分割，因此只需在每块投影区域上确定顶底并积分得到对应立体的体积再相加即可.

通过这三个步骤可以确定空间立体的基本形态，同时可以确定以该空间立体区域为积分区域的三重积分的积分限.

利用二重积分求立体体积的难点在于确定投影区域.下面按照以上步骤来讨论不同情形下确定投影区域的空间立体体积的求法.

四、举例说明

4.1 由方程中含z曲面交线的投影确定投影区域的情形

曲面方程中没有不含z的方程，则立体的侧面为顶底面的交线.因此，在顶底面定义域的交集中，立体向xOy坐标面的投影区域就是交线的投影曲线包围的区域.

例1 求由曲面z=x2+y2和z=2-x2-y2所围成的立体体积.

解 （1）曲面z=x2+y2，z=2-x2-y2，（x，y）∈R2为立体的底顶，侧面为顶底的交线.

（2）在区域R2内，由交线的投影曲线确定投影区域.由z=x2+y2，z=2-x2-y2消掉z可得x2+y2=1，因此立体在xOy面上的投影区域D为x2+y2≤1.

（3）在区域D上，始终有2-x2-y2≥x2+y2，所以立体的底面为z1=x2+y2，顶面为z2=2-x2-y2.

因此，该立体的体积为V=D（z2（x，y）-z1（x，y））dxdy=D[（2-x2-y2）-（x2+y2）]dxdy=π.

4.2 由不含z的柱面方程确定投影区域的情形

曲面方程中有不含z的方程时，立体的侧面由方程不含z的曲面以及顶底面的交线确定.因此，在顶底面定义域的交集中，若柱面的投影曲线落在顶底交线的投影曲线包围的区域内时，立体向xOy坐标面的投影区域就是柱面的投影曲线包围的区域.

例2 求由曲面x2+y2=1 与x2+z2=1所包围立体的体积.

解 （1）由x2+z2=1可得z1=-1-x2，z2=1-x2（x2≤1，y∈R）表示立体的顶底，x2+y2=1立体的侧面.

（2）两个曲面的定义域为{（x，y）|x2≤1，y∈R}，同时也是两个曲面交线的投影曲线所包围的区域.柱面x2+y2=1的投影曲线包含在{（x，y）|x2≤1，y∈R}内，可得所求立体的投影区域D为x2+y2≤1.

（3）在投影区域D上z1<0，z2>0，

因此z1=-1-x2为立体的底，z2=1-x2为立体的顶.

所以该立体的体积为V=D（z2（x，y）-z1（x，y））dxdy=D[1-x2-（-1-x2）]dxdy=163.

4.3 多顶面或多底面确定投影区域的情形

例3 求曲面z=xy，与平面x+y+z=1，z=0所围成区域的立体Ω的体积V.

分析 该题属于一底多顶的空间立体，投影区域被两个顶面交线的投影曲线划分成两部分，需要分别计算每个区域对应的立体体积再求和.

解 （1）曲面z=xy，平面z=1-x-y，（x，y）∈R2为顶，平面y=0为底，曲面的侧面为顶底的交线.

（2）由曲面两两相交交线的投影曲线确定立体在xOy面上的投影区域.由z=xy，z=0得到投影曲线为x=0，y=0，由x+y+z=1，z=0，得到投影曲线为x+y=1，由x+y+z=1，z=xy，得到投影曲线为x+y+xy=1.投影曲线围成的区域就是立体Ω在xOy面上的投影区域D，即D={（x，y）|x+y≤1，x≥0，y≥0}.同时，交线x+y+xy=1将区域D分成D1，D2两部分（如图1）.

图1 空间立体向坐标面的投影区域

显然，平面z=0为底，而曲面z=xy，平面x+y+z=1为顶.

D1对应的顶是曲面z=xy，D2对应的顶为平面x+y+z=1.所以，该立体的体积为：

V=D1xydxdy+D2（1-x-y）dxdy=∫10dx∫1-x1+x0xydy+∫10dx∫1-x1-x1+x（1-x-y）dy（计算略）.

4.4 多边界曲面的情形

例4 求空间曲面z=y16-x2，x2+y2-4x=0，y2-4x=0与空间平面z=0，x=4在坐标系O-xyz第一卦限所围立体体积.

解 （1）对方程进行分类，z=0，（x，y）∈R2以及z=y16-x2（-4≤x≤4，y∈R）分别表示立体的底顶;x2+y2-4x=0，y2-4x=0，x=4为立体的侧面，同时顶底的交线也有可能是立体的侧面.

（2）在区域-4≤x≤4，y∈R内，由z=y16-x2，z=0，得顶底交线的投影曲线为y=0，

x=±4，同时考虑柱面在xOy面的投影曲线方程为x2+y2-4x=0，

y2-4x=0，

x=4.在顶底方程的定义域中，柱面投影曲线包围的区域落在顶底交线的投影曲线之内，因此该立体的投影区域为柱面的投影曲线所包围的区域D={（x，y）0≤x≤4，4x-x2≤y≤4x}，如图2所示.

图2

底和顶的确定：本题中含有z的曲面方程有两个：z=y16-x2，z=0.在确定的投影区域上，显然有z=y16-x2>0，故曲面z=y16-x2为顶，平面z=0为底.

所以，该立体的体积为：Dy16-x2dxdy=∫40dx∫4x4x-x2y16-x2dy（计算略）.

五、结束语

本文针对空间立体图形难画并且不容易想象导致计算体积困难的普遍问题，讨论了不绘制空间立体图形，只通过立体的边界曲面方程就可以利用二重积分计算空间立体体积的一般方法.其中，对方程分类确定立体的顶底和侧以及在投影区域确定顶底方程中底面和頂面相对简单，最困难的是如何确定立体向坐标面的投影区域.文中以投影区域在xOy面为例，给出了计算立体体积的三个步骤，并分别针对确定投影区域的不同情形进行举例说明.如果投影区域在其他坐标面时，方法一样适用.实际运用它的过程中，结合方程与投影区域的平面图形计算空间立体体积会更加简单.另外，计算空间区域上的三重积分的关键也是要把该区域表示出来，通过本文确定立体投影区域以及立体顶底的方法，我们就可以将该立体区域表示出来.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.微积分（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]梁建莉，汤龙坤.旋转体的体积计算[J].数学的实践与认识，2011（2）：240-244.

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[4]蒲元酉，彭涛.空间立体体积的积分计算方法[J]，西安统计学院学报，1995（1）：55-60.

[5]王兆娟.用二重积分计算空间立体体积的新方法[J].数学学习与研究，2015（13）：87.