刘锋 李国平

【摘要】本文首先介绍了欧拉角的定义及其在不同学科的应用，然后分析了欧拉角作为表达刚体姿态方法的优缺点.

【关键词】欧拉角;姿态;偏航角;滚动角;俯仰角

【基金项目】湖南工学院教研教改项目（JY201841）

一、旋转矩阵

描述刚体在空间中的姿态，我们可以用旋转矩阵.假设参考坐标系（固定坐标系）为坐标系{A}，固连于刚体的坐标系为{B}，则刚体相对于参考坐标系的姿态可表示为

ABR=r11 r12 r13r21 r22 r23r31 r32 r33

其中ABR是正交矩阵，构成矩阵的每一列都是一个单位向量，且各列向量是互相正交的.对于右手坐标系，还有BAR=1.可以证明行列式等于1的所有3×3正交矩阵以矩阵乘法作为群运算构成一个群，称为特殊正交群，记为SO（3），SO（3）的最简表示需要3个参数.

旋转矩阵的9个元素，有6个约束，实际上只有3个自由变量.这就表示只需要3个独立的参数就可描述刚体在空间中的姿态.而且用旋转矩阵表示刚体的位姿，不直观，没有明显的物理意义.如果机器人操作人员要输入9个元素的矩阵来控制机器人到达预期的位置，这也是极不方便的事情.

鉴于旋转矩阵的缺点，我们介绍用含有三个角度参数的广义坐标来描述刚体位姿.

二、欧拉角的定义

1.欧拉定理

欧拉定理：有一不动点的刚体的一般位移是绕某一轴线的转动.

若把固连于刚体的坐标系的原点作为不动点，则刚体的位移不会包含坐标系的平移运动，只涉及坐标系的方向（刚体位姿）的变化.旋转运动有一个特征，就是旋转轴的……