摘  要：本文研究了非阶梯型教室的座位最佳问题，结合理想化假设，从四个角度定义“最佳座位”的标准，结合生活经验和大数据结果，探索出最佳座位要滿足的的硬性条件，分别建立等差数列模型和三角函数模型加以求解，得出相应的结论.

但该问题合理化假设后，模型较为单一，可尝试综合考虑以上四个标准将其进行权重分配后建立舒适度函数，以达到优化模型的目的，使得结论更有说服力，更利于推广.

关键词：数学建模，座位最佳位置，三角函数模型

一、问题的提出与分析

1.问题的提出

自阜阳一中开展数学竞赛课程以来，学生一直保持着热忱的学习热情，很多同学都提前去积极抢占座位，以确保好的听课效果.数学竞赛培训室（非阶梯教室）示意图1如下所示，那么我们想要听课位置最佳，应该如何选座位呢？

目前我们所关心的问题是：

（1）对于对视力正常学生来说，影响座位最佳的主要因素有哪些？

（2）影响座位最佳的因素众多，如何选取适当的指标评价？如何度量这些指标？

（3）最佳座位需要满足哪些硬性要求？

（4）如何选取适当的方法进行模型的检验.

2.问题的分析

通过分析发现，最佳座位不仅要求课上看得清楚，听得清楚，有利于集中注意力，还要坐姿舒适.结合生活经验，太靠前的两侧的座位注视黑板时视线经常受阻，所以教室每排的中间位置比两侧位置视线更好.虽然第一排的中间座位距离黑板近，看得清楚也听得清楚，但是由于黑板太高注视时需要仰头，长时间会导致脖子不舒服，因此座位也不能太靠前.而座位太靠后会影响学生与老师的互动，不利于学生集中注意力，影响听课的效果.

综合上述分析，考虑到中间位置确实比两侧位置视线更好，所以下文我们讨论的最佳位置均建立在每排中间位置的基础上.根据实际要求，总结出影响座位最佳的因素主要有以下几个方面：（1）学生座位距离黑板的远近影响座位的效果，太远听不清楚，且不易集中注意力，太近则影响视力.（2）学生注视黑板时头部后仰的程度影响座位的效果，头部后仰角度太大会导致脖子疼，不利于听课.（3）学生注视黑板视线范围的大小影响座位的效果，视线范围太小不利于接受信息，影响课堂效率，视线范围太大，眼睛需要不断扫描黑板信息，容易疲劳增大近视的风险.因此我们进行合理化假设，整理出“最佳座位”的选择标准如下：

标准1：距离黑板的远近影响座位的效果，距离最近为“最佳”.

标准2：水平视线范围的大小影响座位的效果，水平视线范围最大为“最佳”.

标准3：垂直视线范围的大小影响座位的效果，垂直视线范围最大为“最佳”.

标准4：脖子后仰程度的大小影响座位的效果，后仰程度适中为“最佳”.

查阅资料显示，水平视线范围的大小就是人眼睛看向黑板左右两侧边缘时视线所形成的夹角的大小，即水平视角的大小.根据科学统计，人类的水平视角最多为 .

垂直视线范围的大小就是垂直视角的大小，即学生眼睛到黑板上下边缘的夹角的大小.因为人在观看物体的时候纵向视线区域只有 的清晰范围.也就是说，在一定距离内，如果显示器或屏幕所显示的画面面积过大，那么在人眼这个 宽、 高的范围之外的图像是无法被清晰观察到的.如果让眼睛在这样的状态下勉强看清所显示的全部内容，那眼球就得不断地上下、左右扫描显示器或屏幕，这样眼球内肌群在反复运动后极易疲劳，这会让人眼产生不适，加剧近视的程度.因此学生坐下时视角不超过 时的位置为“最佳”.

脖子后仰程度和仰角有关，仰角是学生眼睛到黑板上边缘与水平线的夹角，生活经验发现，仰角太大则人的头部会过分上仰，从而引起不适，经科学统计最适宜的后仰角度不超过为 .

上述的距离、水平视角、垂直视角和仰角都是可以量化的因素.通过上述分析，进一步细化最佳座位的硬性条件如下：

标准1：到黑板的水平距离最小的座位为“最佳座位”;

标准2：水平视角不超过 的座位为“最佳座位”;

标准3：垂直视角不超过 的座位为“最佳座位”;

标准4：仰角不超过 的座位为“最佳座位”.

二、基本假设

（1）假设最佳座位不受个人习惯、成绩、视力以及其他因素的影响;

（2）假设同一排的座位最中间座位效果更好;

（3）假设分别在上述四个标准下研究时，座位的最佳只受这一个因素的影响，在此基础上再选择距离黑板最近的位置，不作综合考虑;

（4）假设在课堂中教师始终在讲台上且不考虑其移动问题，最佳座位不考虑座位距离教师远近的问题.

三、符号说明

四、模型的建立与求解

4.1数据收集

为了更直观的分析此问题，做出数学竞赛培训室的俯视图如图2所示和侧视图如图3所示.其中学生眼睛到黑板左右边缘的夹角是水平视角（图2中的 ），学生眼睛到黑板上下边缘的夹角是垂直视角（图3中的 ），学生眼睛到黑板上边缘与水平线的夹角是仰角（图3中的 ）.

为有效解决此问题，需要测量所处教室的黑板的宽度 、黑板的高度 、黑板距离地面的高度 ，学生坐下时眼睛位置的高度 ，第一排到黑板的水平距离 ，每排之间的间隔距离 .只需软尺可测量所有数据，多次测量取平均值，减小误差.测得数据如下表1所示.

4.2模型的建立

（1）标准1：到黑板的水平距离最小的座位为“最佳座位”.

假设第 排是此标准下的最佳座位，结合第一排座位到黑板的水平距离 和排与排之间的间隔距离 ，得到第 排座位到黑板的水平距离的表达式： （单位：米），建立对应的等差数列模型，水平距离最小即 最小，只需根据具体数据求解出 的值即可确定最佳座位的位置.

（2）标准2：水平视角不超过 的座位为“最佳座位”.

五、模型分析

1.模型的结果及分析

考虑到每间教室的特殊性，得到的最佳座位结论并不能直接进行推广，需结合具体数据在做分析.在建立模型的过程中，参考的视角和仰角的最适角度也是对于大多数人而言的最适，并非参考学生个人情况因素，因此可能存在较大误差.

2.模型检验

可通过实际计算每排视角和仰角的正切值的大小来检验结果是否合理，详见表2.

水平视角不超过 ，即 ，则第一排为最佳座位;垂直视角不超过 ，即 ，则第三排为最佳座位;仰角不超过 ，即 ，则第二排为最佳座位;因此求出来的座位最佳的结果和实际情况是一致的，且是合理的.

也可通过角度测量工具實际测量每排视角和仰角大小来检验结果是否合理，详见表3.

水平视角不超过 ，则第一排为最佳座位;垂直视角不超过 ，则第三排为最佳座位;仰角不超过 ，则第二排为最佳座位;因此模型中求出来的座位最佳的结果是符合实际情况的.

六、模型评价、优化和推广

1.模型的评价

本模型最大的优点在于大胆的进行理想化假设，合理的假设使该问题在目前高中生认知范围内很容易被解决，增加了课堂实践的可操作性.在此建模过程中，只考虑水平视角、垂直视角、仰角以及到黑板平面的距离四个因素中其中一个单因素对座位的影响，使得该问题的求解更加简单化，只需通过合理建模即可转化为高中生熟悉的三角函数问题进一步分析，是学生能够达到的水平.

不过该模型建立的过程中还存在很多不足，虽然模型建立最初考虑了很多因素，但在不同标准下建立的模型只考虑了一个因素对座位效果的影响，过于单一，结合实际情况应综合分析。当然除了上述提到的一些因素外，影响座位舒适度的因素还有教室光线，PPT投影位置，学生个人偏好，学生到教师距离的远近以及与教师互动的方便性等等，为了简化模型只选取了主要的视角和仰角来加以分析，容易使结果存在很大的误差.对于该具体的普通教室来说，在不同标准下最佳座位的结果也不同，不同数据支撑下的最佳座位的结果也不同，考虑到每间教室的特殊性，该最佳座位的结论并不能直接进行推广，具有一定的局限性.

2.模型的优化

该问题可以考虑将影响座位舒适度的主要因素——学生听课时的视角，仰角以及到黑板的距离等综合考虑，并进行权重分配，找到平衡的最佳点，让最佳座位的选取不再单纯的只是满足上文的硬性条件，更突出最佳的含义.在此基础上可尝试考虑更多的影响因素，比如座位距离教师的远近，学生的注意力等，使得结论更有说服力.

3.模型的应用和推广

高考中也曾考查过类似的问题：（2005年数学天津卷，理20）某人在一山坡 处观看对面山顶上的一座铁塔（如图5所示），塔高 米，塔所在的山高 米， 米，图中所示的山坡可视为直线 且点 在直线 上， 与水平地面的夹角为 ， ，试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角 最大（不计此人的身高）？

该模型建立的思路同样可适用于其它位置最佳问题的解决，比如阶梯式大礼堂观看晚会最佳位置问题（如图6所示）、阶梯式曲面屏幕的电影院最佳观影位置问题（如图7所示）等等.该模型在足球的射门问题中也得到了很好的应用（如图8所示），足球运动员在国际标准足球场上沿下列直线方向带球推进，试寻找最佳的射门位置，使得射门的命中角最大.同时参考该思路，我们可以结合室内空间的大小反过来设计教室的黑板布置高度，课桌摆放位置以创造出更多的舒适座位，或者结合电影院空间大小选择适合大小的播放屏幕等.该模型结合类似的实际问题稍作修改即可直接应用，具有很高的应用价值.

参考文献

[1]姜启源等：数学模型（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2003年8月.

[2]张思明：张思明与中学数学模型[M].北京：北京师范大学出版社，2015年10月.

作者简介：

马晓可、1992.4.8、女、汉、皖、研究生、研究方向：数学和应用数学，职称：高级教师

（安徽省阜阳市教育科学规划2019年度立项课题《基于数学核心素养的高中数学建模“校本化”课堂教学实践与评价研究》（项目编号：FJK19009）的阶段性研究成果.）