王淼生 黄勇

摘    要：离心率的大小决定圆锥曲线的类型，因此离心率是圆锥曲线的核心概念，也是考查的热点、重点与难点.求解离心率一般分为纯代数解法（坐标运算）、纯三角解法（焦点三角形结合正弦定理实施转化）、二级结论法（借助相关结论）、解析方法（将代数运算、平面几何性质与圆锥曲线定义深度融合）等四重境界.

关键词：离心率;圆锥曲线;四重境界

例题   已知[F1]，[F2]分别为双曲线[C]：[x2a2-y2b2=1]（[a>0]，[b>0]）的左右焦点，过[F2]且与[C]的渐近线平行的直线与[C]相交于[P]，[PF1⊥PF2]，则双曲线[C]的离心率为（          ）

[A]. [2]        [B]. [3]        [C]. [2]        [D]. [5]

例题为厦门市2020届高三毕业班一道质检题.这是一道典型的离心率综合试题，主要考查直线方程、圆的方程、双曲线方程、渐近线定义、离心率定义、向量数量积及直线平行、直线垂直、直线与双曲线相交等基础知识，主要考查数学运算、逻辑推理与分析问题及解决问题的能力.

一、第一重境界：依赖坐标运算的纯代数解法

既然解析几何出发点是为了借助代数运算，因此纯代数解法通常成为学生首选.请看以下解法.

解法1   由题意可知直线[F2P]的方程为[y=bax-c]，联立直线[F2P]的方程与双曲线的方程得到[y=bax-cx2a2-y2b2=1][?][x=a2+c22cy=-b32ac][?][Pa2+c22c，-b32ac].

据此得到

[        =-c-a2+c22c，b32ac]，[        =c-a2+c22c，b32ac].

注意到已知条件：[PF1⊥PF2]，即[PF1] ·[PF2] =0，则有

[-c-a2+c22cc-a2+c22c+b32ac2=0]

[?][-c2+a2+c224c2+b64a2c2=0]

[?][-4a2c4+a2a2+c22+b23=0]

[?][-4a2c4+a2a2+c22+c2-a23=0]

[?][-4a2c4 + a2a4 + c4 + 2a2c2+][  c6-]

[3c4a2+3c2a4-a6][ =0]

[?][c6-6c4a2+5a4c2=0]

[?][c4-6c2a2+5a4=0]

[?][c2-5a2c2-a2=0]

[?][c2-5a2=0]（[c2-a2=0]，舍去）

[?][e=5].

解法2   由已知条件[PF1⊥PF2]可知点[P]在圆[x2+y2=c2]上，联立该圆的方程与双曲线的方程，得到点[Pac2+b2c，-b2c]，并代入直线[F2P]的方程求解离心率（解答过程略）.

解法3   我们还可以将直线[F2P]的方程：[y=bax-c]与圆的方程：[x2+y2=c2]联立，得到点[P]坐标，并代入双曲线方程：[x2a2-y2b2=1]求解离心率（解答过程略）.

解法4   借助上述解法1、解法2及解法3所得到……