何晴 刘莹

【摘   要】“竖式”算法是小学阶段数学课程内容中的“人为规定”，具有“主客统一”的特征。因其“普遍适用”及“所需基本技能简单”，成为小学阶段学生必须掌握的内容。一方面“竖式”算法是解决计算问题的方法，可以满足人们提高计算效率及减轻思维负担的需要，反映的是人们“求简”的思想;另一方面“竖式”算法不是“任意而为”的产物，其发明和创造的过程离不开“客观规律”。由此算法的教学既要体现“主观性”，即感受需要，也要注重“客观性”，即通过活动发现“规律”。

【关键词】算法;知识属性;人为规定;客观规律

“数的运算（Operation）”是贯穿整个义务教育阶段的重要课程内容之一，习得“算法（Algorithm）”解决问题是其中的一个重要方面。作为现代人所熟知的笔算方式之一，笔算“竖式”是小学阶段学生必须掌握的学习内容。传统课堂一般是由授课教师创设相应的问题情境或直接给出算式，同时要求学生运用尽可能多的方法计算出结果并写出自己的思考过程。而后学生则在教师的“引导”下“发现”标准竖式算法的“优越”，并在之后计算中被动地将其奉为圭臬。

这样的体验不禁使学生感到疑惑：既然最终都要学习标准竖式，为什么还要运用多种方法进行计算，到头来还要受到否定？进一步需要思考：应如何看待“标准竖式”？“算法”学习又如何开展？谢明初教授指出“数学知识的性质直接决定着数学的学习过程”[1]，故而解决“学什么”和“如何学”的问题就需要重新审视“竖式”算法的知识属性。

一、“竖式”算法具有“规定”的特征

新世纪以来，在“建构主义（Constructivism）知识观”的影响下，我国学者对数学课程知识的本质属性产生了新的认识，相对一致的观点是数学中既有“发现（Discover）”又有“发明（Invention）”。前者是指数学课程中那些不证自明（Self-evident）的客观事实，后者则是指那些因满足人的某种习惯或数学自身发展的需要做出的“规范性设定”，如“0是自然数”等，郜舒竹教授将这类知识统称为“人为规定（Artificial rules）”[2]。

《柯林斯数学词典（Collins Maths Dictionary）》将“算法”解释为：可以解决问题的设定完成的“程序”（Procedure），由一系列明确定义和确定顺序的操作步骤组成，属于人类的“发明”。如使用“竖式”计算[12×4]所对应的“算法”：第一步将12拆分为10和2;第二步计算[4×2]得到8;第三步计算[4×10]得到40;最后将两步计算结果相加得到算式结果48。算法所描述的操作过程往往可以通过流程图（Flowchart）的形式表示出来。

一个问题可以对应多种不同的“算法”，作为“人造（Artificial）”的知识，“算法”并不具备“唯一”的特征。李维武《从历史的视角看“竖式”的人文性》、郜舒竹《笔算方法多样性的历史考察》等系列文章都对古今中外有史可稽的笔算算法进行了深入细致的梳理，足以证明笔算“竖式”仅是众多“算法”之一。另外“竖式”算法始终处于选择与优化之中，通过对比不难发现：现代“标准竖式”改善了某些算法因“移位”引起的计算过程的繁杂与混乱;避免了因从高位算起造成的“进位计算”的重复;精简了不必要的计算过程的呈现……

至于为何“竖式”具有如此广泛的应用性，成为小学阶段计算方法学习的重心，与其普遍适用性及所需基本技能简单的特征有关。如前文所述笔算“竖式”是程序化的，不论数的大小，不论执行程序的对象是人还是机器，只要严格执行设定的步骤就能得到正确的结果。而所需“基本技能简单”是指学生仅需理解“位值制（Place Value）”和掌握101以内四则运算就能解决几乎所有计算问题。

二、“规定”因“需要”而产生

从某种意义上来讲，“竖式”算法是一种解决计算问题的手段，符合人們的某种期望（Exception）。试想下面的情形：根据加法运算的意义，计算两个一位数相加（如[2+3]）可以由2开始数“3、4、5”三步得到算式结果5;也可以使用学具（如铅笔、小棒……）将2个和3个相同的物品“合”在一起，通过数“1、2、3、4、5”得到结果。总之“数（shǔ）数（shù）”可以解决某些简单的加法问题。然而随着参与运算的“数（shù）”增大，数（shǔ）的过程也会变得枯燥且不那么“有效（Efficient）”，此时便亟待找到一种方法使得计算能够摆脱或尽量减少“一个一个”地“数（shǔ）”的过程。

阿拉伯记数系统（Arabic Numeral System）提供了这样的捷径。该记数系统以“位值制记数法（Positional Notation）”为基本记数规则，“位值”简单来说就是数码的值取决于它的位置[3]，不同的数位对应的“计数单位”不同：个位的计数单位是“一”，十位的计数单位是“十”，百位的计数单位是“百”……数码0～9表示该位置“计数单位”的个数。这就好比数一个仓库的苹果数量，打开仓库发现这些苹果是被整齐地放置着——不足10个的放在一起，剩下的以10个为一箱，以10箱为一组，以10组为一排……数出几排、几组、几箱、几个便能轻松得到苹果的数量。这提供了一个自然而然的思考倾向2：分部——由“一个一个”地数变为“一类一类”地数。

“竖式”算法产生的另一个需要是减轻思维负担。[4]这不仅是因其以笔算的形式呈现了部分计算过程而减轻记忆上的负担，而且是满足了人们的某种情感偏好：求简。具体来说，无论是生活还是学习，人们都不希望解决太过困难的问题，对比四种运算的“竖式”算法不难发现这样的情感倾向：运算中的每一步尽可能都只涉及一位数的运算，使得运算对象由复杂变得简单。更进一步，这种想法实际是将复杂的计算问题简单化、分部化，通过逐一解决部分问题以实现解决整体问题。数学乃至生活中许多问题的解决（如求组合图形的面积、称大型物体的重量等）都与它相关，是重要的数学思想，称之为“化整为零”。