陈 鑫, 扎其劳

(内蒙古师范大学 数学科学学院,内蒙古 呼和浩特 010022)

0 引言

众所周知,非线性方程是数学和理论物理领域的一个重要研究内容[1],如非线性薛定谔(NLS)方程[2]、导数NLS方程[3]、Davey-Stewartson方程[4]、Kundu-Eckhaus方程等。非线性方程解是其关键内容,它可以描述许多非线性现象。近年来,非线性方程解的研究重点已经转移到寻找具有多种物理适用性的新复杂解上,如加速孤子解[5]、怪波解[6-7]、呼吸子解[8]等。

怪波和呼吸波作为两种特殊类型的非线性波,具有重要作用。1965年,Draper首次提出了怪波概念[9]。1983年,Peregrine首先得到NLS方程的一阶解析解,并用它来描述怪波现象[10]。随后,怪波相继在非线性光学[11]、海洋学[12]、Bose-Einstein凝聚[13]和金融领域[14]中被发现,怪波特别存在于一些非线性方程中。目前,怪波产生的确切机制还不完全清楚,研究怪波理论不仅对怪波理论研究具有重要意义,而且可以推动与怪波有关的其他学科的发展。

呼吸波是一种非线性波包,其能量以局域振荡的方式集中。时间呼吸子和空间呼吸子是两种主要类型的呼吸子。时间呼吸子对应于非线性方程的局部化解,其振幅随时间而变化,例如Ma呼吸子[15]。同时也存在相反的情况：呼吸波在空间上振荡并且沿着传播距离局部化,例如Akhmediev呼吸子[16]。呼吸子的研究对船舶和海洋结构物的耐波性试验和标准制定具有重要意义。

2019年,Mukherjee和Kundu提出了一个新的复非线性波方程((1+1)维Mukherjee-Kundu方程)[5]

(1)

(2)

其中,*表示复共轭,下标表示偏导数。

文献 [5]得到了方程(1)的一阶怪波解

(3)

(4)

文献 [7]利用符号计算方法,导出了方程(2)的具有多个参数的高阶怪波解