欧阳柏平, 肖胜中

(1.广州华商学院 数据科学学院,广东 广州 511300;2.广东农工商职业技术学院 科研处,广东 广州 510507)

0 引言

考虑非线性非局部抛物方程解的初边值问题

(1)

同时假设a(x),f(s),g(ζ)满足条件

a(x)>0, 01,a1>0,s>0,

0≤g(ζ)≤bζq,b>0,ζ≥0,q>1。

(2)

方程(1)可以用来描述物理学中多孔介质力学、流体力学、气体流量、热传导和生物种群理论等反应扩散问题[1-3]。自Payne[4]对有关抛物方程解的爆破现象进行开创性研究之后,短短几十年间,出现了大量文献研究抛物方程和抛物系统解的爆破问题。起初,学者们主要是针对带局部项的爆破问题,其涉及的边界条件主要集中在齐次边界条件(比如Dirichlet条件和Neumann条件)以及Robin边界条件[5-9],考虑的空间维数也集中在R3上。之后,有学者研究在非线性边界条件下以及系数依赖于时间的解的爆破问题[10-18]。其他有关偏微分方程(比如高阶的柯西问题)爆破问题研究可参考文献 [19-22]。近来发现很多非局部项的数学模型比局部项的数学模型更具有实际意义。而许多局部项的数学理论和数学方法不再适用于非局部项的数学模型,需要寻求解决非局部项的数学模型的理论和方法。目前有关非局部项的抛物方程和抛物系统的研究主要是在Robin边界条件和齐次Dirichlet边界条件下进行[23-24]。在有关爆破发生时爆破时间界估计的问题中,研究爆破发生时解的爆破时间上界的方法很多,而关于爆破时间下界的办法却有限且困难。

文献 [23]研究了半线性反应-扩散问题得到在适当的条件下解的全局性以及解的爆破时间的上下界。受文献 [23]的启发,本文研究问题(1)-(2)下解的爆破现象。

目前,有关空变系数的非局部抛物方程在非线性边界条件下解的爆破时间下界估计的研究成果相对较少。其难点是如何构造一个恰当的能量函数,使得在非线性条件下高维空间上找到空变系数对爆破问题解的影响。对此,本文采用修正的微分不等式技巧以及Sobolev嵌入不等式方法,导出在高维空间上非线性条件下爆破发生前提下解的爆破时间下界估计。

1 爆破时间的下界

本节需要用到Sobolev不等式[25]

(3)

其中C=C(n,Ω)是一个与n和Ω有关的Sobolev嵌入常数。

定义辅助函数

(4)

建立如下定理:

定理假设u(x,t)是问题(1)-(2)在有界凸区域Ω的经典非负解,则(4)式中定义的能量满足微分不等式

φ′(t)≤K1φ(x)+K2φ(x)ξ+K4,

由此可得爆破时间t*的下界为

其中K1,K2,K4,ξ将在后面定义。

为证明上述定理,首先证明下面的引理。

引理假设u(x,t)是问题(1)-(2)在有界凸区域Ω的经典非负解,则(4)式中定义的能量满足

引理的证明运用散度定理,首先对(4)式求导数得

(5)

对于(5)式第一项,由散度定理和(2)式,有

(6)

n为∂Ω的单位外法向量。

对于(6)式右边第一项,取

由Hölder不等式和杨氏不等式,有

(7)

对于(6)式第二项,由Hölder不等式和杨氏不等式,有

(8)

其中ε1是在后面会定义的正数。

对于(6)式第三项,由Hölder不等式和杨氏不等式,有

(9)

其中ε2是在后面会定义的正数。

联立(6)式-(9)式,得

(10)

联立(5)和(10)式,有

(11)

对于(11)式右边第五项,取

由Hölder不等式及(3)式,得到

(12)

ε3是在后面会定义的正数。

(13)

联立(11)式-(13)式,得

(14)

对于(14)式右边第一项,取

由Hölder不等式及(3)式,得到

(15)

其中ε4是在后面会定义的正数。

又由(13)式,可得

(16)

其中ε5是在后面会定义的正数。

(17)

由(14)式和(17)式,得

(18)

K2=2(σr3+(σr4+σa1λ2)x12)+λ6+σa1λ3,

K3=2(σr3+(σr4+σa1λ2)x12)λ7+(σr5+σa1λ4),

选择合适的ε1,ε2,ε3,ε4,使得K3=0,于是(18)式可化为

φ′(t)≤K1φ(x)+K2φ(x)ξ+K4,

(19)

(20)

引理得证。

定理的证明由引理,对(20)式积分可得

(21)

定理得证。

本文是在古典意义下研究的解的爆破问题,其结论对于在Neumann边界条件下的弱解的情况也是成立的。