莘 智, 侯瑾蓉

(内蒙古师范大学 数学科学学院,内蒙古 呼和浩特 010022)

0 引言

解析方法是研究非线性振动的定量分析方法,即通过精确地或近似地寻求非线性微分方程的解析解,得到非线性系统的运动规律,以及对系统参数和初始条件的依赖关系。最早正规摄动法是由泊松提出来的,1830年泊松在研究单摆的振动时,提出将非线性系统的解按小参数的幂次展开的近似计算方法,称为摄动法或小参数法[1-2]。正规摄动法是一种求解弱非线性系统解析解的近似方法,摄动法所得的结果既简单又有效,是解决非线性振动问题重要的方法之一[3-6]。

讨论下面带小参数的动力学方程所描述的单自由度非自治系统[1]

(1)

(2)

这个系统称为原系统(1)的派生系统。若设x0(t)是派生系统方程的周期解,那么当原系统(1)也存在周期解时,就可以在x0(t)的基础上进行修正作为原系统方程的解,将原系统方程的周期解[1]设为

x(t,ε)=x0(t)+εx1(t)+ε2x2(t)+…。

(3)

(4)

其中任意的ε取值对于这个方程都是成立的,令两边ε的同次幂系数相等,由此得各阶近似解的微分方程组

(5)

(6)

(7)

由方程(5)可以解得派生解x0(t)的值,再将x0(t)的值代入方程(6)中,可以得到关于x1的微分方程,解出x1的值,以此类推代入下一个方程中,便可求出各阶近似解。将这些值再代入方程(3)中,由此求得原系统(1)的周期解,即为利用正规摄动法求渐进解的方法。

1 远离共振的受迫振动

讨论达芬系统受简谐激励的受迫振动,其动力学方程为

(9)

其中ω是指系统在一定时间里实际进行激励的次数,称为激励频率,远离派生系统的固有频率ω0。仍设此方程的解为(3)式,即

x(t,ε)=x0(t)+εx1(t)+ε2x2(t)+…

将此级数形式的解代入方程(9),可以得到

ε(x0+εx1+ε2x2+ε3x3+…)3]=F0cosωt。

(10)

令方程两边ε的同次幂系数相等,由此可以推导出以下线性微分方程组

(11)

(12)

(13)

(14)

……

故而可以解出方程(11)的一般解为

x0=A0cos (ω0t+θ0)+Acosωt,

(15)

其中A0和θ0是积分常数,由初始条件决定。右边第一项为自由振动,第二项为受迫振动,由于系统中存在阻尼项,所以自由振动项会逐渐衰减直至消失,方程的解只剩下

x0=Acosωt。

(16)

将其代入方程(11)中,得到振幅A为

(17)

再将(17)式代入方程(12)中,可得到

(18)

设特解x1为

x1=B1cosωt+B2cos 3ωt,

(19)

将上述所设特解代入方程(18)中,可求出

(20)

将(16)式和(19)式代入方程(13)中得到

在经过必要地三角运算之后,上述方程转化为

(21)

设此方程特解为

x2=C1cosωt+C2cos 3ωt+C3cos 5ωt,

(22)

将上述所设特解代入方程(21)中,可求出

(23)

将(16)式,(19)式和(22)式代入方程(14),可得到

在经过必要地三角运算之后,上述方程转化为

(24)

设此方程的特解为

x3=D1cosωt+D2cos 3ωt+D3cos 5ωt+D4cos 7ωt,

(25)

将上述所设特解代入方程(24)中,可以求出

(26)

以此类推进行运算,可以算出更高阶的近似解,将各阶近似解代入(3)式,最终得到原系统的受迫振动解

x=(A+εB1+ε2C1+ε3D1+…)cosωt+(εB2+ε2C2+ε3D2+…)cos 3ωt+

(ε2C3+ε3D3+…)cos 5ωt+(ε3D4+…)cos 7ωt+…

(27)

在这里用省略号代替更高阶的近似解,并且在此周期解中,不仅包含了ω,而且还有3ω、5ω、7ω…频率高次谐波同时发生,这种现象称为倍频响应。

2 多频激励的受迫振动

讨论当硬弹簧系统受到两个不同的激励频率的影响,设这两个激励频率分别是ω1和ω2,可得到动力学方程

(28)

同样地,设该动力学方程的周期解为(3)式的形式,即

x(t,ε)=x0(t)+εx1(t)+ε2x2(t)+…

将上述所设解代入方程(28)中,并且让方程两边ε相同次幂的系数相等,由此可以推导出一系列方程

(29)

(30)

(31)

……

设方程(29)的特解为

x0=A1cosω1t+A2cosω2t,

(32)

将上述所设的特解代入方程(29)的左边,可以得到

(33)

将特解(32)式代入方程(30)中,可以得到

(34)

设方程(34)的特解为

x1=B1cosω1t+B2cosω2t+B3cos 3ω1t+

B4cos 3ω2t+B5cos 2ω1tcosω2t+B6cosω1tcos 2ω2t,

(35)

将所设的特解(35)式代入方程(34)中,可以解得

(36)

将(32)式和(35)式代入方程(31)的右边,得到

B3cos 3ω1t+B4cos 3ω2t+B5cos 2ω1tcosω2t+B6cosω1tcos 2ω2t)=

(37)

从方程(34)和方程(37)可以观察到,不仅含有频率ω1和ω2以及它们的倍数,而且还有2ω1+ω2,|2ω1-ω2|,2ω1+3ω2,|2ω1-3ω2|等组合起来的频率,这种组合起来的频率,不符合线性系统变化规律的频率称为频率耦合现象,是非线性系统的又一重要特征。

3 结论

正规摄动法通过将解展成小参数的幂级数形式,代入原方程后,根据各阶小参数的次数相等,转化为线性微分方程组进行求解,从而得到原方程的解。本文利用正规摄动法解决达芬系统受简谐激励的受迫振动的解析解,将其由二阶提高到三阶,对于多频激励的受迫振动的解析解将其由一阶提高到二阶。