莘 智, 侯瑾蓉

(内蒙古师范大学 数学科学学院,内蒙古 呼和浩特 010022)

0 引言

解析方法是研究非线性振动的定量分析方法,即通过精确地或近似地寻求非线性微分方程的解析解,得到非线性系统的运动规律,以及对系统参数和初始条件的依赖关系。最早正规摄动法是由泊松提出来的,1830年泊松在研究单摆的振动时,提出将非线性系统的解按小参数的幂次展开的近似计算方法,称为摄动法或小参数法[1-2]。正规摄动法是一种求解弱非线性系统解析解的近似方法,摄动法所得的结果既简单又有效,是解决非线性振动问题重要的方法之一[3-6]。

讨论下面带小参数的动力学方程所描述的单自由度非自治系统[1]

(1)

(2)

这个系统称为原系统(1)的派生系统。若设x0(t)是派生系统方程的周期解,那么当原系统(1)也存在周期解时,就可以在x0(t)的基础上进行修正作为原系统方程的解,将原系统方程的周期解[1]设为

x(t,ε)=x0(t)+εx1(t)+ε2x2(t)+…。

(3)

(4)

其中任意的ε取值对于这个方程都是成立的,令两边ε的同次幂系数相等,由此得各阶近似解的微分方程组

(5)

(6)

(7)

由方程(5)可以解得派生解x0(t)的值,再将x0(t)的值代入方程(6)中,可以得到关于x1的微分方程,解出x1的值,以此类推代入下一个方程中,便可求出各阶近似解。将这些值再代入方程(3)中,由此求得原系统(1)的周期解,即为利用正规摄动法求渐进解的方法。

1 远离共振的受迫振动

讨论达芬系统受简谐激励的受迫振动,其动力学方程为

(9)

其中ω是指系统在一定时间里实际进行激励的次数,称为激励频率,远离派生系统的固有频率ω0。……