蔡海涛 (福建省莆田第二中学 351131)

本文以一道高三质检题为例，提供了多种解题思路，兼顾了解题的通性通法和特殊解答技巧，引领学生进行解题反思，归纳并提炼解题思想和方法，同时在解题教学层面进行了深入思考，旨在培养学生的数学核心素养．

1 试题呈现

(2020年莆田市高三第三次质检·理21)设函数f(x)=xlnx，g(x)=aex(a∈R)．

(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线也与曲线y=g(x)相切，求a的值．

(2)设函数G(x)=f(x)-g(x)存在两个极值点． ①求a的取值范围；②当ae2≥2时，证明：G(x)<0．

2 解法探究

因为H(m)·H(2)≤0，所以H(x)存在唯一零点x0∈(1,2)， 故F(x)有唯一的极大值点x0∈(1,2)．

又u′(x)在区间[1,+∞)上单调递减，故u′(x)≤u′(1)=0，即u(x)在[1,+∞)上为减函数．

又u(2)=1-ln 2>0，u(3)=1-2 ln 3<0，故存在x0∈(2,3)，使得h′(x0)=0，即lnx0+1-x0lnx0=0 (*)．

于是当10，h(x)为增函数；当x>x0时，h′(x0)<0，h(x)为减函数．

3 变式拓展

(1)求函数f(x)的单调区间；

解(1)函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减. (过程略)

令g(x)=1-x-xlnx，则g′(x)=-1-(lnx+1)=-2-lnx．

评注对于含有lnx与ex型的超越函数，具体解决时须根据这两类函数的特点，挖掘结构特征，灵活变形，脑中有“形”，特别注意重要不等式lnx≤x-1⟺ex≥x+1的合理代换．

4 教学启示

(1)对解题教学的思考

在解题教学中，教师常常采用一题多解，让学生从多种思维角度来思考问题，既要重视通性通法又要关注特法巧解，解后引导学生对解题方法进行归纳，在数学思想上进行引领． 指数、对数组合型的函数不等式问题，常用的解题方法有三种：一是指数、对数分离并向易于求最值的常用函数转化；二是利用放缩消掉指数函数或对数函数之一，再进行处理；三是隐零点法． 对于具体问题，可根据函数特征具体分析，选择合适的方法求解．

解题教学中还可常常对问题进行变式，让学生……