单佳骊， 楼红卫

(1.复旦大学 >附属中学，上海200433； 2.复旦大学 >数学科学学院，上海200433)

1 引 言

在几何不等式研究中，三角形几何不等式的研究占有重要地位.一些三角形几何不等式非常简洁优美，证明思路通常利用余弦定理等三角函数性质去证，解法简单快捷.如下是第3届国际数学奥林匹克IMO竞赛题中一个三角形几何不等式及其解法.

又由Cauchy不等式知b2+c2≥2bc，再结合sin(A+π/6)≤1，得到

且等式成立当且仅当a=b=c(即当且仅当b=c且A=π/3).证毕.

上述解法巧妙地运用了三角形中各边长和面积与三角函数之间的关系，再结合Cauchy不等式而快速得到原命题.受命题1启发，有两个问题值得我们思考和研究：

(i) 能否将命题1中的三角形几何不等式推广为更一般的三角形几何不等式？

(ii) 能否将命题1中的三角形几何不等式推广为多边形几何不等式？

有很多文献研究了三角形几何等式和不等式乃至多边形几何等式与不等式，例如文献 [1-2]研究了三角形几何等式、不等式及其推广，文献[3-4]研究了圆外切和圆内接多边形几何不等式.本文将利用凸函数的Jensen不等式[5]，将几何问题转化为代数问题，获得比命题1更具一般性的三角形几何不等式(见第2节推广1)和圆外切多边形几何不等式(见第二节推广2).

2 主要结论及其证明

首先，将命题1的三角形几何不等式推广到更一般的三角形几何不等式.

推广1设a,b,c为某个三角形的各边长，S为其面积.则对任意大于1的实数α，有

aα+bα+cα≥2α31-α/4Sα/2,

其中等式成立当且仅当a=b=c.

其次，将命题1由三角形情形推……