刘继成， 廖俊俊

(华中科技大学 >数学与统计学院， 武汉430074)

1 引 言

在Martin Hairer 2016年1月13日的讲义《Convergence of Markov Processes》(见文献[1]第20页倒数11行)中，作者在研究马氏过程不变测度收敛速度时，证明中涉及到下面的问题：

φ(2x)≤2φ(x)-C，

(1)

对所有的x>VC成立？容易验证，函数φ(x)=ln(1+x)和φ(x)=xα，α∈(0，1)均为满足问题M条件的函数，并且(1)式成立. 然而，考虑函数

φ(x)=x+(1-e-x)，x≥0.

(2)

φ(2x)=2x+(1-e-2x)=2(x+(1-e-x))+e-x(2-e-x)

=2φ(x)+e-x(2-e-x)≥2φ(x).

因此， (2)式中的函数φ(x)满足问题M的条件，但(1)式不成立. 这说明问题M的结论并不总是能成立的.

一个自然的问题是，在问题M中增加什么条件能保证(1)式成立呢？以及能否给出(1)式成立的充分条件和充要条件呢？本文将给出正面的回答.

本节将回顾凹函数的定义以及一些性质，这些性质将在定理的证明中反复使用.

2 凹函数的性质

定义1[3] 209设I⊂为一区间，若函数φ∶I→满足对任意x，y∈I和λ∈(0，1)有

φ(λx+(1-λ)y)≥λφ(x)+(1-λ)φ(y)，

则称φ(x)为I上的凹函数.

由定义1，容易得到凹函数以下一些性质.

(i)φ(x)为区间I上的凹函数等价于对任意x，y，z∈I，x

(3)

(ii) 设φ∶[0，+∞)→为凹函数， 由(3)式的第二个不等式知关于x单调递减.

事实上，若φ(x)非负，当x≥1时有

3 主要结论与证明

容易看出，(1)式可以表述为极限形式：(1)式成立等价于

首先得到下面使(1)式成立的充要条件.

命题1设φ(x)∶[0，+∞)→为凹函数，α>1， 并且存在，则有

当且仅当

证首先证明两个单调性. 对任意的x>y以及α>1，由(3)式得

因此

(4)

知αφ(x)-φ(αx)≥αφ(y)-φ(αy)， 即αφ(x)-φ(αx)关于x单调递增.进一步，在(4)式中令α→+∞得

φ(x)-kx≥φ(y)-ky，

(5)

即φ(x)-kx关于x单调递增.

(tα-1)φ(ty)≥t(α-1)φ(y)+(t-1)φ(tαy).

结合(4)式，对x>ty，得

(6)

在上式中令x→ +∞得

再令t→+∞得

因此，若F(α)<+∞，则G<+∞.

由命题1，显然有下面使(1)式成立的充分条件.

推论1设φ∶[0，+∞)→为可导的凹函数，若且则对任意的

例对于函数φ(x)=ln(x+1)和φ(x)=xα，α∈(0，1)，容易验证满足推论1的条件，所以对这两个函数(1)式都成立. 而函数φ……