康 琳

(四川师范大学附属中学 610061)

题目设圆锥的轴截面是一个正三角形,用一个与圆锥底面成30°夹角的平面去截圆锥,所得截口曲线是椭圆,则该椭圆的离心率为____.

思路1确定椭圆上特殊点的坐标

思路2椭圆短轴所在的圆截面上利用勾股定理计算短半轴长

思路3构造三角形，利用相似计算短半轴长

思路4构造直角三角形，利用勾股定理计算短半轴长.

思路5利用Dandelin球与截面、侧面相切，切点为焦点

点评以上五种思路都充分利用了特殊的几何关系，特别是条件里的正三角形使计算比较容易，如果将题目中轴截面改为等腰三角形(非正三角形)，夹角非特殊角度时，几何关系的不明确将增加运算难度，甚至运算难以进行，于是产生了对这道题的进一步探究.

点评用此公式求截口曲线——椭圆的离心率不仅快捷，而且更具有普适性.

小结本文的题目以“截面椭圆”为载体，既考查了学生直观想象的核心素养，也考查了数学抽象的核心素养，在这个过程中，还需要学生具备较强的逻辑推理能力和数学运算的能力；就这个题目而言，以上多种思路需要用到数形结合的思想，化归及转化的思想.同时也揭示了平面解析几何的本质思想—几何问题代数化.这强调了知识的交叉，渗透和综合，因此，这个题目的综合性较强，是立体几何与平面解析几何综合考查的典范，极具探究意义.