潘敬贞 蔡海涛

(1.广东省汕头市澄海华侨中学 515800；2.福建省莆田第二中学 351131)

蔡海涛(1975-)，男，福建省莆田人，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

每一道高考试题都是命题专家的智慧结晶，高考题不仅承载着选拨使命，还承载着引导教学、育人等多重使命.很多高考题的解法并不唯一，为不同考生提供了多样的思考空间和解答路径，在某种程度上体现了试题的人文关怀，更是命题专家智慧的体现.本文以2019年高考全国卷Ⅱ文数第20题为例，进行多解分析和变式探究，以期与同行交流.

一、试题呈现与分析

(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；

(2)如果存在点P,使PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.

本道的第一问是以椭圆的焦点三角形为背景，求椭圆的离心率，该问主要考查椭圆定义和基本性质，试题难度不大，很多学生都能够轻松作答.第二问是以椭圆焦点三角形为研究背景，以三角形面积为研究对象，求椭圆的参数的值和范围.该问主要考查椭圆基本性质，焦点三角形面积，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查学生的推理论证与运算求解等能力，考查数形结合、化归转化及函数方程思想等数学思想方法，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养.

本道试题并不难，试题素材和问题设置学生并不陌生，提出的问题都是解析几何中较为基础、常规的问题.试题入口宽，层层递进，有利于学生的解答.试题的解答最关键是通过直观想象、数……